Уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси. Динамика вращательного движения твердого тела основное уравнение динамики. Физическая величина, характеризующая

Твердое тело можно представить как совокупность материальных точек. При вращении тела все эти точки имеют одинаковые угловые скорости и ускорения. Используя результаты § 7.6, сравнительно несложно получить уравнение движения твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси.
Уравнение движения
Для вывода основного уравнения динамики вращательного движения можно поступить следующим образом. Разделить мысленно тело на отдельные, достаточно малые элементы, которые можно было бы рассматривать как материальные точки (рис. 7.33). Записать для каждого элемента уравнение (7.6.13), и все эти уравнения почленно сложить. При этом внутренние силы, действующие между отдельными элементами, в уравнение движения тела не войдут. Сумма их моментов в результате сложения уравнений окажется равной нулю, так как по третьему закону Ньютона силы взаимодействия равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Учитывая далее, что при вращении твердого тела все его точки совершают одинаковые угловые перемещения с одинаковыми скоростями и ускорениями, можно таким образом получить уравнение вращательного движения всего тела.
Однако вывод этого уравнения довольно громоздок, поэтому мы на нем останавливаться не будем. Тем более что это уравнение имеет такую же форму, что и уравнение (7.6.13) для материальной точки, движущейся по окружности:
О"
О"

(7.7.1)
d(J В этом уравнении JI
щих на тело относительно оси вращения.
Читается уравнение (7.7.1) так: производная по времени от момента импульса равна суммарному моменту внешних сил.
Следует иметь в виду, JITO вращение тела вокруг оси могут вызывать лишь силы Ft, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси вращения (рис. 7.34). Силы же Fk, направленные параллельно оси вращения, очевидно, способны вызвать лишь перемещение тела вдоль оси. Момент каждой силы Fl равен взятому со знаком плюс или минус произведению модуля этой силы на плечо d, т. е. на длину отрезка перпендикуляра, опу-щенного из точки С оси на линию действия силы Ft:
Mi = ±Ftd. (7.7.2)
Момент силы, вращающий тело вокруг данной оси против часовой стрелки, считается положительным, а по часовой стрелке - отрицательным.
Момент инерции тела
В формулу (7.7.1) входит момент инерции тела J. Момент инерции тела J равен сумме моментов инерции AJ- отдельных малых элементов, на которые можно разбить все тело:
(7.7.3)
і
Так как момент инерции материальной точки
AJ^Amtf, (7.7.4)
где Атпі - масса элемента тела, а г, - его расстояние до оси вращения (см. рис. 7.33), то
J = J A mtrf . (7.7.5)
385
13-Мякишев, 10 кл.
Момент инерции тела зависит не только от массы тела, но и от характера распределения этой массы. Чем больше вытянуто
Рис. 7.35
тело вдоль оси вращения, тем меньше его момент инерции, так как тем ближе к оси вращения расположены отдельные элементы тела. Очевидно также, что, изменив ось вращения тела, мы тем самым изменим и его момент инерции. У твердых тел момент инерции относительно данной оси - постоянная величина. Поэтому изменение момента импульса может происходить лишь за счет изменения угловой скорости. Соответственно уравнение (7.7.1) можно записать в виде:
jft = М. (7.7.6)
Читается это уравнение так: произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение тела равно сумме моментов (относительно той же оси) всех внешних сил, приложенных к телу.
Уравнение (7.7.6) показывает, что при вращении тела момент инерции играет роль массы, момент силы - роль силы, а угловое ускорение - роль линейного ускорения при движении материальной точки или центра масс.
В том, что угловое ускорение определяется действительно моментом силы, т. е. силой и плечом, а не просто силой, убедиться нетрудно. Так, раскрутить велосипедное колесо до одной и той же угловой скорости одной и той же силой (напри-мер, усилием пальца) можно гораздо быстрее, если прикладывать силу к ободу колеса (это создает больший момент), а не к спицам вблизи втулки (рис. 7.35).
Для того чтобы убедиться в том, что угловое ускорение определяется именно моментом инерции, а не массой тела, нужно иметь в распоряжении тело, форму которого можно легко изменять, не меняя массы. Велосипедное колесо здесь непригодно. Но можно воспользоваться своим собственным телом. Попробуйте закрутиться на пятке, оттолкнувшись от пола другой ногой. Если вы при этом прижмете руки к груди, то угловая скорость окажется большей, чем если вы раскинете руки в стороны. Эффект будет особенно заметным, если в обе руки взять по толстой книге.
Моменты инерции обруча и цилиндра
Найти момент инерции тела произвольной несимметричной формы довольно сложно. Проще его измерить опытным путем, чем вычислить.
Мы ограничимся вычислением момента инерции тонкого обруча, вращающегося вокруг оси, проходящей через его центр. Если масса колеса сосредоточена главным образом в его ободе (как, например, у велосипедного колеса), то такое колесо приближенно можно рассматривать как обруч, пренебрегая массой спиц и втулки.
Разобьем обруч на N одинаковых элементов. Если т - масса всего обруча, то масса каждого элемента Дmi = ^ . Толщину
обруча будем считать много меньшей ее радиуса (рис. 7.36). Если число элементов выбрать достаточно большим, то каждый элемент можно рассматривать как материальную точку. Поэтому момент инерции произвольного элемента с номером і будет равен:
Д Jt = Дт;Д2. (7.7.7)
Подставляя выражение (7.7.7) в формулу (7.7.5) для полного момента инерции, получим:
N
(7.7.8)
J= Д^Д miR2 = mR2.

Рис. 7.36
Здесь мы учли, что расстояние R для всех элементов одинаково и что сумма
масс элементов равна массе т об-
I
руча.
13*
387
Получился очень простой результат: момент инерции обруча равен произведению его массы на квадрат радиуса. Момент инерции обруча данной массы тем больше, чем больше его радиус. Формула (7.7.8) определяет также момент инерции
полого тонкостенного цилиндра при его вращении вокруг оси симметрии.
Вычисление момента инерции сплошного однородного цилиндра массой тп и радиусом R относительно его оси симметрии представляет более сложную задачу. Мы приведем лишь результат расчета: (7.7.9)
J =\ mR2. Следовательно, если сравнить моменты инерции двух цилиндров одинакового размера и массы, один из которых полый, а другой сплошной, то у второго цилиндра момент инерции будет в два раза меньше. Это связано с тем, что у сплошного цилиндра масса расположена в среднем ближе к оси вращения.
Мы познакомились с уравнением вращательного движения твердого тела. По форме оно похоже на уравнение для поступательного движения твердого тела. Дано определение новых физических величин, характеризующих твердое тело: момента инерции и момента импульса.

Уравнения динамики твердого тела. Общий случай.

В общем случае абсолютно твердое тело имеет 6 степеней свободы, и для описания его движения необходимы 6 независимых скалярных уравнений или 2 независимых векторных уравнения.

Вспомним, что твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, и, следовательно, к нему применимы те уравнения динамики, которые справедливы для системы точек в целом.

Обратимся к опытам.

Возьмем резиновую палку, утяжеленную на одном из концов и имеющую лампочку точно в центре масс (рис. 3.1). Зажжем лампочку и бросим палку из одного конца аудитории в другой, сообщив ей произвольное вращение - траекторией лампочки будет при этом парабола - кривая, по которой полетело бы небольшое тело, брошенное под углом к горизонту.

Стержень, опирающийся одним из концов на гладкую горизонтальную плоскость (рис. 1.16), падает таким образом, что его центр масс остается на одной и той же вертикали - нет сил, которые сдвинули бы центр масс стержня в горизонтальном направлении.

Опыт, который был представлен на рис. 2.2а,в, свидетельствует о том, что для изменения момента импульса тела существенна не просто сила, а ее момент относительно оси вращения.

Тело, подвешенное в точке, не совпадающей с его центром масс (физический маятник), начинает колебаться (рис. 3.2а) - есть момент силы тяжести относительно точки подвеса, возвращающий отклоненный маятник в положение равновесия. Но тот же маятник, подвешенный в центре масс, находится в положении безразличного равновесия (рис. 3.26).

Роль момента силы наглядно проявляется в опытах с “послушной” и “непослушной” катушками (рис. 3.3). Плоское движение этих катушек можно представить как чистое вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку соприкосновения катушки с плоскостью. В зависимости от направления момента силы относительно мгновенной оси катушка либо откатывается (рис. 3.3а), либо накатывается на нитку (рис. 3.36). Держа нить достаточно близко к горизонтальной плоскости, можно принудить к послушанию самую “непослушную” катушку.

Все эти опыты вполне согласуются с известными законами динамики, сформулированными для системы материальных точек: законом движения центра масс и законом изменения момента импульса системы под действием момента внешних сил. Таким образом, в качестве двух векторных уравнений движения твердого тела можно использовать:

1. Уравнение движения центра масс

Здесь - скорость центра масс тела, сумма всех внешних сил, приложенных к телу.

2. Уравнение моментов

Здесь - момент импульса твердого тела относительно некоторой точки, М - суммарный момент внешних сил относительно той же самой точки.

К уравнениям (3.1) и (3.2), являющимся уравнениями динамики твердого тела, необходимо дать следующие комментарии:

1. Внутренние силы, как и в случае произвольной системы материальных точек, невлияют на движение центра масс и не могут изменить момент импульса тела.

2. Точку приложения внешней силы можно произвольно перемещать вдоль линии, по которой действует сила. Это следует из того, что в модели абсолютно твердого тела локальные деформации, возникающие в области приложения силы, в расчет не принимаются. Указанный перенос не повлияет и на момент силы относительно какой бы то ни было точки, так как плечо силы при этом не изменится.

3. Векторы и М в уравнении (3.2), как правило, рассматриваются относительно некоторой неподвижной в лабораторной системе точки. Во многих задачах и М удобно рассматривать относительно движущегося центра масс тела. В этом случае уравнение моментов имеет вид, формально

совпадающий с (3.2). В самом деле, момент импульса тела относительно движущегося центра масс О связан с моментом импульса относительно неподвижной точки О соотношением, полученным в конце лекции №2:

где - радиус-вектор от О к - полный импульс тела. Аналогичное соотношение легко может быть получено и для моментов силы:

где - геометрическая сумма всех сил, действующих на твердое тело. Поскольку точка О неподвижна, то справедливо уравнение моментов (3.2):

Здесь учтено, что

Величина есть скорость точки О в лабораторной системе Учитывая (3.4), получим

Поскольку движущаяся точка О - это центр масс тела, то масса тела), то есть уравнение моментов относительно движущегося центра масс имеет такой же вид, что и относительно неподвижной точки. Существенно отметить, что в этом случае, как было показано в конце лекции №2, скорости всех точек тела при определении следует брать относительно центра масс тела.

Ранее было показано, что произвольное движение твердого тела можно разложить на поступательное (вместе с системой начало которой находится в некоторой точке - полюсе, жестко связанном с телом) и вращательное (вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс). С точки зрения кинематики выбор полюса особого значения не имеет, с точки же зрения динамики полюс, как теперь понятно, удобно поместить в центр масс. Именно в этом случае уравнение моментов (3.2) может быть записано относительно центра масс (или оси, проходящей через центр масс) в том же виде, как и относительно неподвижного начала (или неподвижной оси).

4. Если не зависит от угловой скорости тела, от скорости центра масс, то уравнения (3.1) и (3.2) можно рассматривать

независимо друг от друга. В этом случае уравнение (3.1) соответствует просто задаче из механики точки, а уравнение (3.2) - задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки или неподвижной оси. Пример ситуации, когда уравнения (3.1) и (3.2) нельзя рассматривать независимо - движение вращающегося твердого тела в вязкой среде.

Далее в этой лекции мы рассмотрим уравнения динамики для трех частных случаев движения твердого тела: вращения вокруг неподвижной оси, плоского движения и, наконец, движения твердого тела, имеющего ось симметрии и закрепленного в центре масс.

I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

В этом случае движение твердого тела определяется уравнением

Здесь - это момент импульса относительно оси вращения, то есть проекция на ось момента импульса, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси (см. лекцию №2). М - это момент внешних сил относительно оси вращения, то есть проекция на ось результирующего момента внешних сил, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси, причем выбор этой точки на оси, как и в случае с значения не имеет. Действительно (рис. 3.4), где - составляющая силы, приложенной к твердому телу, перпендикулярная оси вращения, - плечо силы относительно оси.

Динамика вращательного движения твердого тела.

Момент инерции.

Момент силы. Основное уравнение динамики вращательного движения.

Момент импульса.

Момент инерции.

(Рассмотрим опыт со скатывающимися цилиндрами.)

При рассмотрении вращательного движения необходимо ввести новые физические понятия: момент инерции, момент силы, момент импульса.

Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси.

Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения равен произведению её массы на квадрат расстояния до рассматриваемой оси вращения (рис.1):

Зависит только от массы материальной точки и её положения относительно оси вращения и не зависит от наличия самого вращения.

Момент инерции - скалярная и аддитивная величина

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его точек

.

В случае непрерывного распределения массы эта сумма сводится к интегралу:

,

где - масса малого объема тела ,  плотность тела, - расстояние от элемента до оси вращения.

Момент инерции является аналогом массы при вращательном движении. Чем больше момент инерции тела, тем труднее изменить угловую скорость вращаемого тела. Момент инерции имеет смысл только при заданном положении оси вращения.

Бессмысленно говорить просто о “моменте инерции”. Он зависит:

1)от положения оси вращения;

2)от распределения массы тела относительно оси вращения, т.е. от формы тела и его размеров.

Экспериментальным доказательством этого является опыт со скатывающимися цилиндрами.

Произведя интегрирование для некоторых однородных тел, можно получить следующие формулы (ось вращения проходит через центр масс тела):

Момент инерции обруча (толщиной стенок пренебрегаем) или полого цилиндра:

Момент инерции диска или сплошного цилиндра радиуса R:

Момент инерции шара

Момент инерции стержня

Если для тела известен момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой оси, параллельной первой, находится по теореме Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции J 0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

где d расстояние от центра масс до оси вращения.

Центр масс - воображаемая точка, положение которой характеризует распределение массы данного тела. Центр масс тела движется так же, как двигалась бы материальная точка той же массы под действием всех внешних сил, действующих на данное тело.

Понятие момента инерции было введено в механику отечественным ученым Л. Эйлером в середине XVIII века и с тех пор широко используется при решении многих задач динамики твердого тела. Значение момента инерции необходимо знать на практике при расчете различных вращающихся узлов и систем (маховиков, турбин, роторов электродвигателей, гироскопов). Момент инерции входит в уравнения движения тела (корабля, самолета, снаряда, и т.п.). Его определяют, когда хотят узнать параметры вращательного движения летательного аппарата вокруг центра масс при действии внешнего возмущения (порыва ветра и т.п.). Для тел переменной массы (ракеты) с течением времени изменяется масса и момент инерции.

2 .Момент силы.

Одна и та же сила может сообщать вращающемуся телу разные угловые ускорения в зависимости от её направления и точки приложения. Для характеристики вращающего действия силы вводят понятие момента силы.

Различают момент силы относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси. Моментом силы относительно точки О (полюса) называется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора проведенного из точки О в точку приложения силы, на вектор силы:

Поясняющий это определение рис. 3 выполнен в предположении, что точка О и вектор лежат в плоскости чертежа, тогда вектор так же располагается в этой плоскости, а вектор  к ней и направлен от нас (как векторное произведение 2-х векторов; по правилу правого буравчика).

Модуль момента силы численно равен произведению силы на плечо:

где - плечо силы относительно точки О,  - угол между направлениями и, .

Плечо - кратчайшее расстояние от центра вращения до линии действия силы.

Вектор момента силы сонаправлен с поступательным движением правого буравчика, если его рукоятку вращать по направлению вращающего действия силы. Момент силы - аксиальный (свободный) вектор, он направлен вдоль оси вращения, не связан с определенной линией действия, его можно переносить в

пространстве параллельно самому себе.

Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется проекция вектора на эту ось (проходящую через точку О).

Если на тело действуют несколько сил, то результирующий момент сил относительно неподвижной оси Z равен алгебраической сумме моментов относительно этой оси всех сил, действующих на тело.

Если сила, приложенная к телу, не лежит в плоскости вращения, её можно разложить на 2 компоненты: лежащую в плоскости вращения и  к ней F n . Как видно из рисунка 4, F n вращения не создает, а приводит только к деформации тела; вращение тела обусловлено только составляющей F  .

Вращающееся тело можно представить как совокупность материальных точек.

Выберем произвольно некоторую точку с массой m i , на которую действует сила, сообщая точке ускорение (рис. 5). Поскольку вращение создает только тангенциальная составляющая, для упрощения вывода направлена перпендикулярно оси вращения.

В этом случае

Согласно второму закону Ньютона: . Умножим обе части равенства на r i ;

,

где - момент силы, действующей на материальную точку,

Момент инерции материальной точки.

Следовательно, .

Для всего тела: ,

т.е. угловое ускорение тела прямо пропорционально моменту действующих на него внешних сил и обратно пропорционально его моменту инерции. Уравнение

(1) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси, или второй закон Ньютона для вращательного движения.

3 . Момент импульса.

При сравнении законов вращательного и поступательного движений усматривается аналогия.

Аналогом импульса является момент импульса. Понятие момента импульса также можно ввести относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси, однако в большинстве случаев его можно определить следующим образом. Если материальная точка вращается вокруг неподвижной оси, то её момент импульса относительно этой оси по модулю равен

где m i - масса материальной точки,

 i - её линейная скорость

r i - расстояние до оси вращения.

Т.к. для вращательного движения

где - момент инерции материальной точки относительно этой оси.

Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси равен сумме моментов импульсов всех его точек относительно этой оси:

где - момент инерции тела.

Т.о., момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения равен произведению его момента инерции относительно этой оси на угловую скорость и сонаправлен с вектором угловой скорости.

Продифференцируем уравнение (2) по времени:

Уравнение (3) - ещё одна форма основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента

импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения равна моменту внешних сил относительно той же оси

Это уравнение является одним из важнейших уравнений ракетодинамики. В процессе движения ракеты положение ее центра масс непрерывно изменяется, вследствие чего возникают различные моменты сил: лобового сопротивления, аэродинамической силы, сил создаваемых рулем высоты. Уравнение вращательного движения ракеты под действием всех приложенных к ней моментов сил совместно с уравнениями движения центра масс ракеты и уравнениями кинематики с известными начальными условиями позволяют определить положение ракеты в пространстве в любой момент времени.

Твердого тела вокруг неподвижной оси.

Момент импульса твердого тела при вращательном движении вокруг оси z вычисляется как

Тогда уравнение динамики вращательного движения примет вид:

Если тело твердое, то , поэтому, с учетом того, что (угловое ускорение), получаем выражение

Это уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси :

угловое ускорение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси прямо пропорционально величине момента внешних сил относительно этой оси .

Замечание . По аналогии со вторым законом Ньютона, в котором ускорение определяется силой, уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела дает связь между угловым ускорением и моментом силы. В этом смысле момент инерции тела играет роль меры инертности при вращательном движении .

Примеры вычисления моментов инерции.

1) Момент инерции тонкого кольца (прямого тонкостенного цилиндра) массы m и радиуса R относительно оси z, перпендикулярной плоскости кольца, проходящей через центр кольца

2) Момент инерции диска (сплошного цилиндра) массы m и радиуса R относительно оси z, перпендикулярной к плоскости диска, проходящей через центр диска (сплошного цилиндра).

Выделим тонкий цилиндр радиусом r и толщиной dr .

Масса этого цилиндра , .

3) Момент инерции тонкого стержня относительно оси z, являющейся срединным перпендикуляром. Масса стержня m, длина L.

Выделим на расстоянии x от оси маленькую часть стержня длиной dx.

Масса этой части и . Поэтому

.

4) Момент инерции тонкостенного шара относительно любой оси симметрии z. Масса шара m, радиус R.

Выделим на поверхности сферы кольцевой сегмент, для которого ось z является осью симметрии. Сегмент опирается на малый центральный угол dj, положение сегмента определяется углом j, отсчитываемым от плоскости экватора, перпендикулярной оси z.

Тогда радиус кольца ,

его масса , поэтому

или

5) Момент инерции сплошного шара относительно любой оси симметрии z. Масса шара m, радиус шара R.

Представим шар как набор вложенных друг в друга тонкостенных сфер переменного радиуса r и толщиной dr . Масса одной такой сферы .

Момент инерции такой сферы .

.

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Как связаны между моменты инерции твердого тела относительно двух параллельных осей?

Рассмотрим две параллельные оси z 1 и z 2 . Введем две системы координат так, чтобы их оси х и у были параллельны друг другу, причем вторая система координат была получена параллельным переносом из первой на вектор, перпендикулярный осям z 1 и z 2 . Тогда расстояние между осями будет равно .

В этом случае координаты любой i- й малой частицы тела связаны соотношениями

Квадрат расстояния от этой точки до первой оси z 1:

и до второй оси z 2 .

Вычисляем момент инерции относительно второй оси:

В этом равенстве

Момент инерции тела относительно оси z 1 ,

Учтём, что и (где x 1С и y 1С – координаты центра масс тела в 1й системе координат) и получим

Если предположить, что ось z 1 проходит через центр масс тела , то x 1С =0 и y 1С =0, поэтому в этом случае выражение упрощается:

Это выражение носит название теоремы Гюйгенса-Штейнера : момент инерции твердого тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела и квадрата расстояния между осями, умноженного на массу тела .

Пример . Момент инерции стрежня относительно оси, проходящей через край стержня, перпендикулярно ему, равен сумме момента инерции относительно срединной оси и массе, умноженный на квадрат половины длины стержня:

.

Пример . Рассмотрим движение грузов на невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через блок (диск). Массы грузов m 1 и m 2 (m 1 < m 2), масса блока m. Трения в оси блока нет. Нить не скользит по блоку. Силами сопротивления в воздухе пренебрегаем. Найти ускорение грузов. Радиус блока R.

Решение . Фиксируем систему отсчета, в которой ось блока неподвижная. Предполагаем, что эта система отсчета инерциальная. Ось z системы координат в этой системе отсчёта направим вдоль оси вращения блока («от нас»).

«Мысленно» разбиваем систему на части и находим силы между частями системы в соответствие со вторым и третьим законами Ньютона.

При этом учтём, что нить невесомая (масса любой части нити равна нулю), поэтому, если кусок нити движется под действием (растягивающих) сил, то из второго закона Ньютона

Динамика вращательного движения твердого тела. Основное уравнение динамики вращательного движения. Момент инерции твердого тела относительно оси. Теорема Штейнера. Момент импульса. Момент силы. Закон сохранения и изменения момента импульса.

На прошлом занятии разобрали импульс и энергию. Рассмотрим величину момент импульса - характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью проходит вращение. Рассмотрим частицу А. r – радиусвектор, характеризующий положение относительно некоторой точки O, выбранной системы отсчёта. P-импульс в этой системе. Векторная величина L – момент импульса частицы А относительно точки О: Модуль вектора L: где α – угол между r и p, l=r sin α плечо вектора p относительно точки О.

Рассмотрим изменение вектора L со временем: = т. к. dr/dt =v, v направлен так же, как и p , т. к. dp/dt=F –равнодействующая всех сил. Тогда: Момент силы: М= Модуль момента силы: где l – плечо вектора F относительно точки O Уравнение моментов: производная по времени от момента импульса L частицы относительно некоторой точки О равна моменту M равнодействующей силы F относительно той же точки О: Если M = 0, то L=const – если момент равнодействующей силы равен 0 в течении интересующего промежутка времени, то импульс частицы остаётся постоянным в течении этого времени.

Уравнение моментов позволяет: Найти момент силы M относительно точки O в любой момент времени t , если известна зависимость от времени момента импульса L(t) частицы, относительно той же точки; Определить припращение момента импульса частицы относительно точки O за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента сил M(t), действующего на эту частицу (относительно той же точки О). Используем уравнение моментов, и запишем элементарное приращение вектора L: Тогда, проинтегрировав выражение, найдём приращение L за конечный промежуток времени t: правая часть – импульс момента силы. Приращение момента импульса частицы за любой промежуток времени равно импульсу момента силы за это же время.

Момент импульса и момент силы относительно оси Возьмём ось z. Выберем точку О. L - момент импульса частицы А относительно точки, M- момент силы. Моментом импульса и моментом силы относительно оси z называют проекцию на эту ось векторов L и M. Обозначают Lz и Mz - они не зависят от точки выбора О. Производная по времени от момента импульса частицы относительно оси z равна моменту силы относительно этой оси. В частности: Mz=0 Lz=0. Если момент силы относительно некоторой подвижной оси z равен нулю, то момент импульса частицы относительно этой оси остаётся постоянным, при этом сам вектор L может меняться.

Закон сохранения моменте импульса Выберем произвольную систему частиц. Момент импульса данной системы будет векторная сумма моментов импульсов её отдельных частиц: Векторы определены относительно одной и той же оси. Момент импульса величина аддитивная: момент импульса системы равен сумме моментов импульсов её отдельных частей независимо от того, взаимодействуют они между собой или нет. Найдём изменение момента импульса: - суммарный момент всех внутренних сил относительно точки О. ; - суммарный момент всех внешних сил относительно точки О. Производная момента импульса системы по времени равна суммарному моменту всех внешних сил! (используя 3 закон Ньютона):

Момент импульса системы может изменяться под действием только суммарного момента всех внешних сил Закон сохранения импульса: момент импульса замкнутой системы частиц остаётся постоянным, т. е. не меняется со временем. : Справедливо для момента импульса, взятого относительно любой точки инерциальной системы отсчёта. Внутри системы изменения могут быть, но приращение момента импульса одной части системы равно убыли момента импульса другой её части. Закон сохранения момента импульса – не является следствием 3 -го закона Ньютона, а представляет самостоятельный общий принцип; один из фундаментальных законов природы. Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.

Динамика твёрдого тела Два основных вида движения твёрдого тела: Поступательное: все точки тела получают за один и тот же промежуток времени равные по величине и направлению перемещения. Задать движение одной точки Вращательное: все точки твёрдого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Задать ось вращения и угловую скорость в каждый момент времени Любое движение твёрдого тела может быть представлена как сумма двух этих движений!

Произвольное перемещение твёрдого тела из положения 1 в положение 2 можно представить как сумму двух перемещенийпоступательного перемещения из положения 1 в положения 1’ или 1’’ и поворота вокруг оси О’ или оси О’’. Элементарное перемещение ds: - «поступательного» - «вращательного» Скорость точки: - одинаковая для всех точек тела скорость поступательного движения - различная для разных точек тела скорость, связанная с вращением тела

Пусть система отсчёта неподвижна. Тогда движение можно рассмотреть как вращательное движение с угловой скоростью w в системе отсчёта, движущейся относительно неподвижной системы поступательно со скоростью v 0. Линейная скорость v’, обусловленная вращением твёрдого тела: Скорость точки при сложном движении: Существуют точки, которые при векторном перемножении векторов r и w дают вектор v 0. Эти точки лежат на одной прямой и образуют мгновенную ось вращения.

Движение твёрдого тела в общем случае определяется двумя векторными уравнениями: Уравнение движения центра масс: Уравнение моментов: Законы действующих внешних сил, точки их приложения и начальные условия скорость и положение каждой точки твердого тела в любой момент времени. Точки приложения внешних сил можно переносить вдоль направления действия сил. Равнодействующая сила- сила, сила которая равна результирующей сил F, действующих на твёрдое тело, и создаёт момент, равный суммарному моменту M всех внешних сил. Случай поля тяжести: равнодействующая сил тяжести проходит через центр масс. Сила, действующая на частицу: Суммарный момент сил тяжести относительно любой точки:

Условия равновесия твердого тела: тело будет оставаться в состоянии покоя, если нет причин, вызывающих его движение. По двум основным уравнениям движения тела, для это необходимо два условия: Результирующая внешних сил равна нулю: Сумма моментов всех внешних сил, действующих на тело относительно любой точки должен быть равен нулю: Если система неинерциальная, то кроме внешних сил необходимо учитывать силы инерции (силы, обусловленные ускоренным движением неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной системы отсчета). Три случая движения твёрдого тела: Вращение вокруг неподвижной оси Плоское движение Вращение вокруг свободных осей

Вращение вокруг неподвижной оси Момент импульса твёрдого тела относительно оси вращения ОО’: где mi и pi- масса и расстояние от оси вращения i-й частицы твёрдого тела, wz –его угловая скорость. Введём обозначение: где I – момент инерции твёрдого тела относительно оси OO’: Момент инерции тела находится как: где dm и dv – масса и объём элемента тела, находящегося на расстоянии r от интересующей нас оси z; ρ- плотность тела в данной точке.

Моменты инерции однородных твёрдых тел, относительно оси проходящей через центр масс: Теорема Штейнера: момент инерции I относительно произвольной оси z равен моменту инерции Ic относительно оси Ic, параллельной данной и проходящей через центр масс C тела, плюс произведение массы m тела на квадрат расстояния a между осями:

Уравнение динамики вращения твёрдого тела: где Mz – суммарный момент всех внешних сил относительно оси вращения. Момент инерции I определяет инерционные свойства твёрдого тела при вращении: при одном и том же значении момента сил Mz тело с большим моментом инерции приобретает меньшее угловое ускорения βz. Mz включает и моменты сил инерции. Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела (ось вращения неподвижна): пусть скорость частицы вращающегося твёрдого тела – Тогда: где I – момент инерции относительно оси вращения, w – его угловая скорость. Работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси определяется действием момента Mz этих сил относительно данной оси.

Плоское движение твёрдого тела При плоском движении центра масс твердого тела движется в определённой плоскости, неподвижной в данной системе отсчёта К, а вектор его угловой скорости w перпендикулярен этой плоскости. Движение описывают два уравнения: где m – масса тела, F-результирующая всех внешних сил, Ic и Mcz- момент инерции и суммарный момент всех внешних сил- оба относительно оси, проходящей через центр тела. Кинетическая энергия твёрдого тела при плоском движении складывается из энергии вращения в системе вокруг оси, проходящей центр масс, энергии связанной с движением центра масс: где Ic –момент инерции относительно оси вращения (через ЦМ), w – угловая скорость тела, m – его масса, Vc – скорость центра масс тела системе отсчёта K.

Вращение вокруг свободных осей Ось вращения, направление которой в пространстве остаётся неизменным без действия на неё каких либо сил извне, называют свободной осью вращения тела. Главные оси тела – три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через его центр масс, которые могут служить свободными осями. Для удержания оси вращения в неизменном направлении к ней необходимо приложить момент M некоторых внешних сил F: Если угол равен 90 градусам, то L совпадает по направлению с w, т. е. М=0!- направление оси вращения будет оставаться неизменным без внешнего воздействия При вращении тела вокруг любой главной оси вектор момента импульса L совпадает по направлению с угловой скоростью w: где I -момент инерции тела относительно данной оси.