Закон коши распределения случайных величин. Распределение коши. Эйлер, Коши и эстетическая ценность математики

КОШИ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, распределение вероятностей случайной величины Х, имеющее плотность

где - ∞ < μ < ∞ и λ>0 - параметры. Коши распределение унимодально и симметрично относительно точки х = μ, являющейся модой и медианой этого распределения [на рисунке а и б изображены графики плотности р(х; λ, μ) и соответствующей функции распределения F (х; λ, μ) при μ =1,5 и λ = 1]. Математическое ожидание Коши распределения не существует. Характеристическая функция Коши распределения равна e iμt - λ|t| , - ∞ < t < ∞. Произвольное Коши распределение с параметрами μ и λ выражается через стандартное Коши распределение с параметрами 0 и 1 формулой

Если независимые случайные величины Х 1 ,...,Х n имеют одно и то же Коши распределение, то их арифметическое среднее (Х 1 + ... + X n)/n для любого n = 1,2, ... имеет то же самое распределение; этот факт был установлен С. Пуассоном (1830). Коши распределение является устойчивым распределением. Отношение X/Y независимых случайных величин Х и Y со стандартным нормальным распределением имеет Коши распределение с параметрами 0 и 1. Распределение тангенса tg Z случайной величины Z, с равномерным распределением на отрезке [-π/2, π/2], также имеет Коши распределение с параметрами 0 и 1. Коши распределение рассматривалось О. Коши (1853).

Казалось бы, распределение Коши выглядит очень привлекательно для описания и моделирования случайных величин . Однако в действительности это не так. Свойства распределения Коши резко отличны от свойств распределения Гаусса , Лапласа и других экспоненциальных распределений.  

Дело в том, что распределение Коши близко к предельно пологому. Напомним, что распределение называется предельно пологим, если при х -> +оо его плотность вероятности  

Для распределения Коши не существует даже первого начального момента распределения , то есть математического ожидания , так как определяющий его интеграл расходится. При этом распределение имеет и медиану и моду, которые равны параметру а.  

Разумеется, дисперсия этого распределения (второй центральный момент) также равна бесконечности. На практике это означает, что оценка дисперсии по выборке из распределения Коши будет неограниченно возрастать с увеличением объема данных.  

Из вышесказанного следует, что аппроксимация распределением Коши случайных процессов , которые характеризуются конечным математическим ожиданием и конечной дисперсией, неправомерна.  

Итак, мы получили симметричное распределение, зависящее от трех параметров, с помощью которого можно описывать выборки случайных величин, в том числе с пологими спадами. Однако, это распределение обладает недостатками, которые были рассмотрены при обсуждении распределения Коши, а именно, математическое ожидание существует только при а > 1, дисперсия конечна только при ОС > 2, и вообще, конечный момент распределения к-го порядка существует при а > k.  

На рисунке 14.1 использовано 8 000 выборок из известного распределения Коши, которое имеет бесконечное среднее и дисперсию. Распределение Коши более подробно описывается ниже. Используемый здесь ряд был "нормализован" путем вычитания среднего и деления на выборочное стандартное отклонение . Таким образом, все единицы выражены в стандартных отклонениях . Для сравнения мы используем 8 000 гауссовых случайных переменных , которые были нормализованы аналогичным образом. Важно понять, что два последующих шага всегда будут заканчиваться в среднем 0 и стандартном отклонении 1, потому что они были нормализованы к этим значениям. Конвергенция означает, что временной ряд быстро идет к устойчивому значению.  

Эти два известных распределения, распределение Коши и нормальное распределение , имеют много применений. Они также являются единственными двумя членами семейства устойчивых распределений , для которых могут быть явно выведены функции плотности вероятностей . Во всех других дробных случаях они должны быть оценены, обычно посредством численных средств. Мы обсудим один из этих методов в одном из последующих разделов этой главы.  

В Главе 14 мы исследовали последовательное стандартное отклонение и среднее значение американской фондовой биржи и сравнили его с временным рядом , полученным из распределения Коши. Мы сделали это, чтобы увидеть влияние бесконечных дисперсии и среднего на временной ряд. Последовательное стандартное отклонение - стандартное отклонение временного ряда , когда мы за раз прибавляем  

Сделайте первое приближение Z к u(o,F), взяв взвешенное среднее значение F квантилей распределений Коши и гауссовых распределений.  

Таблица А3.2 преобразовывает результаты Таблицы А3.1 в квантили. Чтобы узнать, какое значение F объясняет 99 процентов наблюдений для а= 1,0, опуститесь по столбцу F влево к 0,99 и поперек к значению и=31,82. Распределение Коши требует наблюдений 31,82 значений с от среднего, чтобы охватить 99 процентов вероятности. Напротив, нормальный случай достигает 99-процентного уровня при и=3,29. Это отличается от стандартного нормального случая, который составляет 2,326 стандартных отклонений , а не 3,29 единиц с.  

Р(> (птг)1/2Г(п/2) п При п = 1 соответствующее распределение называют распределением Коши.  

Если ряд является стационарным в широком смысле, то он не обязательно является строго стационарным . В то же время, и строго стационарный ряд может не быть стационарным в широком смысле просто потому, что у него могут не существовать математическое ожидание и/или дисперсия. (В отношении последнего примером может служить случайная выборка из распределения Коши.) Кроме того, возможны ситуации, когда указанные три условия выполняются, но, например, Е(Х) зависит от t.  

В то же время, в общем случае, даже если некоторые случайные величины Х, . .., Х взаимно независимы и имеют одинаковое распределение, то это еще не означает, что они образуют процесс белого шума, т.к. случайная величина Xt может просто не иметь математического ожидания и/или дисперсии (в качестве примера мы опять можем указать на распределение Коши).  

Коша два или более факторов, например трудовые и материальные активы, участвуют в процессе производства товаров и оказании услуг, а также в последующем формировании денежных поступлений, логичное распределение последних по факторам представляется в целом невозможным. Предполагалось приводить в соответствие активам, которые могли быть использованы, чистые предельные поступления, но сумма частных предельных поступлений может оказаться выше совокупных чистых поступлений от реализации продукции и оказания услуг.  

Такие распределения с длинными хвостами, особенно в данных, полученных Парето, привели к тому, что Леви (Levy, 1937), французский математик, сформулировал обобщенную функцию плотности , частными случаями которой были нормальные распределения , так же как и распределения Коши. Леви использовал обобщенную версию Центральной предельной теоремы . Эти распределения соответствуют большому классу естественных явлений, но они не привлекали большого внимания вследствие их необычных и на вид трудно разрешимых проблем. Их необычные свойства продолжают делать их непопулярными однако их другие свойства так близки нашим результатам, полученным на рынках капитала , что мы должны их исследовать. Кроме того, было обнаружено, что устойчивые распределения Леви полезны в описании статистических свойств турбулентного потока и l/f-шума - и к тому же они фрактальны.  

На рисунке 14.2(а) показано последовательное стандартное отклонение для тех ке двух рядов. Последовательное стандартное отклонение , подобно последовательному реднему, является вычислением стандартного отклонения , по мере того как по одному добавляются наблюдения. В этом случае разница еще более поразительна. Случайный эяд быстро сходится к стандартному отклонению 1. Распределение Коши, напротив, никогда не сходится. Вместо этого оно характеризуется несколькими большими прерывистыми скачками и большими отклонениями от нормализованного значения 1.  

Это логарифм характеристической функции для распределения Коши, которое, как известно, имеет бесконечную дисперсию и среднее. В этом случае 8 становится медианой распределения, а с - семи-интерквартильным размахом.  

Холт и Кроу (Holt and row, 1973) нашли функцию плотности вероятностей для а = 0,25 - 2,00 и Р равного от -1,00 до +1,00, оба в приращениях 0,25. Используемая ими методология интерполировала между известными распределениями, типа распределений Коши и нормальных распределений , и интегрального представления из работы Золотарева (Zolotarev, 1964/1966). Таблицы, подготовленные для бывшего  

Как мы говорили в Главе 14, явные выражения для устойчивых распределений существуют только для частных случаев нормальных распределений и распределений Коши. Однако Бергстром (Bergstrom, 1952) разработал разложение в ряд, которое Фамэ и Ролл использовали для приближения плотностей для многих значений альфы. Когда a > 1.0, они могли использовать результаты Бергстрома для выведения следующего сходящегося ряда  

Физическая энциклопедия

КОШИ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

КОШИ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Распределение вероятностей с плотностью

и ф-цией распределения

Параметр сдвига, >0 - параметр масштаба. Рассмотрено в 1853 О. Коши. Характеристическая функция К. р. равна ехр ; моменты порядка р 1 не существуют, поэтому больших чисел закон для К. р. не выполняется [если X 1 ..., Х n - независимые случайные величины с одинаковым К. р., то n -1 ( Х 1 + ... + Х n ) имеет то же К. р.]. Семейство К. р. замкнуто относительно линейных преобразований: если случайная величина X имеет распределение (*), то аХ+b также имеет К. р. с параметрами , . К. р.- устойчивое распределение с показателем 1, симметричное относительно точки х= . К. р. имеет, напр., отношение X/Y независимых нормально распределённых случайных величин с нулевыми средними, а также ф-ция , где случайная величина Z равномерно распределена на . Рассматривают также многомерные аналоги К. р.

Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., , т. 2, М., 1984.

• - поверхность, являющаяся границей области причинной предсказуемости физ. явлений в будущем по нач. данным, заданным на нек-рой пространственноподобной трёхмерной поверхности...

  Физическая энциклопедия

• - задача о нахождении решения дифференц. ур-ния, удовлетворяющего нач. условиям. Рассмотрена в 1823-24 О. Коши...

  Физическая энциклопедия

• - интегральная ф-ла, выражающая значение аналитической функции f в точке, лежащей внутри замкнутого контура, не содержащего внутри себя особенностей f , через её значения на этом контуре: ...

  Физическая энциклопедия

• - ...

  Этнографические термины

• - см. Частота распределения...

  Медицинские термины

• - Огюстен Луи, барон, французский математик, создатель комплексного анализа. Развивая идеи ЭЙЛЕРА, формализовал многие понятия математического ИСЧИСЛЕНИЯ...

  Научно-технический энциклопедический словарь

• - знаменитый французский математик. Первым его учителем и воспитателем был его отец - страстный латинист и ревностный католик. 13-ти лет Огюстен К. был определен в центральную школу...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - Огюстен Луи, французский математик, член Парижской АН. Окончил Политехническую школу и Школу мостов и дорог в Париже. В 1810-13 работал инженером в г. Шербур...
• - одна из основных задач теории дифференциальных уравнений, впервые систематически изучавшаяся О. Коши. Заключается в нахождении решения u ...

  Большая Советская энциклопедия

• - интеграл вида...

  Большая Советская энциклопедия

• - неравенство для конечных сумм, имеющее вид: ...

  Большая Советская энциклопедия

• - специальный вид распределения вероятностей случайных величин. Введено О. Коши; характеризуется плотностью p = 0...

  Большая Советская энциклопедия

• - Огюстен Луи, французский математик. Один из основоположников теории функций. Труды по теории дифференциальных уравнений, математической физике, теории чисел, геометрии...

  Современная энциклопедия

• - РИМАНА УРАВНЕНИЯ - дифференциальные уравнения с частными производными 1-го порядка, связывающие действительную и мнимую части аналитической функции комплексного переменного...
• - одна из основных задач теории дифференциальных уравнений. Заключается в нахождении решения такого уравнения, удовлетворяющего т. н. начальным условиям...

  Большой энциклопедический словарь

• - сущ., кол-во синонимов: 1 обувь...

  Словарь синонимов

"КОШИ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ" в книгах

Распределение