Hva er formen på et parallellepiped? Rektangulært parallellepipedum. Definisjon: volumbegrep

Prismet kalles parallellepipedum, hvis basene er parallellogrammer. Cm. Fig.1.

Egenskaper til et parallellepiped:

De motsatte flatene til et parallellepiped er parallelle (det vil si at de ligger i parallelle plan) og like.

Diagonalene til et parallellepiped skjærer hverandre i ett punkt og halveres av dette punktet.

Tilstøtende flater av et parallellepiped– to ansikter som har en felles kant.

Motstående sider av et parallellepiped– ansikter som ikke har felles kanter.

Motsatte hjørner av et parallellepiped– to hjørner som ikke tilhører samme ansikt.

Diagonal av et parallellepiped– et segment som forbinder motsatte hjørner.

Hvis sidekantene er vinkelrette på planene til basene, kalles parallellepipedet direkte.

Et rett parallellepiped hvis baser er rektangler kalles rektangulær. Et prisme, hvis ansikter alle er firkanter, kalles kube.

Parallelepiped- et prisme hvis base er parallellogrammer.

Høyre parallellepipedum- et parallellepiped hvis sidekanter er vinkelrett på basens plan.

Rektangulært parallellepipedum er et rett parallellepiped hvis base er rektangler.

Kube– et rektangulært parallellepiped med like kanter.

parallellepipedum kalt et prisme hvis base er et parallellogram; Dermed har et parallellepiped seks flater og alle er parallellogrammer.

Motstående flater er parvis like og parallelle. Parallepipedet har fire diagonaler; de krysser alle på ett punkt og er delt i to på det. Ethvert ansikt kan tas som base; volumet er lik produktet av arealet av basen og høyden: V = Sh.

Et parallellepiped hvis fire sideflater er rektangler kalles et rett parallellepiped.

Et rett parallellepiped hvis seks flater er rektangler kalles rektangulært. Cm. Fig.2.

Volumet (V) av et rett parallellepiped er lik produktet av grunnflaten (S) og høyden (h): V = Sh .

For et rektangulært parallellepiped gjelder i tillegg formelen V=abc, hvor a,b,c er kanter.

Diagonalen (d) til et rektangulært parallellepiped er relatert til kantene ved relasjonen d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .

Rektangulært parallellepipedum- et parallellepiped hvis sidekanter er vinkelrette på basene, og basene er rektangler.

Egenskaper til et rektangulært parallellepiped:

I et rektangulært parallellepiped er alle seks flatene rektangler.

Alle dihedriske vinkler på et rektangulært parallellepiped er rett.

Firkantet diagonal av en kuboid lik summen kvadratene av dens tre dimensjoner (lengdene av tre kanter som har et felles toppunkt).

Diagonalene til et rektangulært parallellepiped er like.

Et rektangulært parallellepiped, hvis flater alle er firkanter, kalles en terning. Alle kanter på kuben er like; volumet (V) av en terning uttrykkes med formelen V=a 3, hvor a er kanten på kuben.

I geometri er nøkkelbegrepene plan, punkt, rett linje og vinkel. Ved å bruke disse begrepene kan du beskrive enhver geometrisk figur. Polyedre beskrives vanligvis i form av enklere figurer som ligger i samme plan, for eksempel en sirkel, trekant, firkant, rektangel, etc. I denne artikkelen skal vi se på hva et parallellepiped er, beskrive typene parallellepiped, dets egenskaper, hvilke elementer det består av, og også gi de grunnleggende formlene for å beregne arealet og volumet for hver type parallellepiped.

Definisjon

Et parallellepiped i tredimensjonalt rom er et prisme, der alle sider er parallellogrammer. Følgelig kan den bare ha tre par parallelle parallellogrammer eller seks flater.

For å visualisere et parallellepiped, se for deg en vanlig standard murstein. En murstein er et godt eksempel på et rektangulært parallellepiped som selv et barn kan forestille seg. Andre eksempler inkluderer panelhus i flere etasjer, skap, lagercontainere matvarer passende form osv.

Varianter av figur

Det er bare to typer parallellepipeder:

1. Rektangulære, alle sideflater er i en vinkel på 90° i forhold til basen og er rektangler.
2. Skrånende, hvis sidekanter er plassert i en viss vinkel til basen.

Hvilke elementer kan denne figuren deles inn i?

• Akkurat som alle andre geometrisk figur, i et parallellepiped kalles alle 2 flater med en felles kant tilstøtende, og de som ikke har det er parallelle (basert på egenskapen til et parallellogram som har parvis parallelle motsatte sider).
• Toppene til et parallellepiped som ikke ligger på samme ansikt kalles motsatte.
• Segmentet som forbinder slike toppunkter er en diagonal.
• Lengdene på de tre kantene av en kuboid som møtes i ett toppunkt er dens dimensjoner (nemlig lengden, bredden og høyden).

Formegenskaper

1. Den er alltid bygget symmetrisk i forhold til midten av diagonalen.
2. Skjæringspunktet for alle diagonaler deler hver diagonal i to like segmenter.
3. Motstående flater er like lange og ligger på parallelle linjer.
4. Hvis du legger til kvadratene til alle dimensjonene til et parallellepiped, vil den resulterende verdien være lik kvadratet på lengden på diagonalen.

Beregningsformler

Formlene for hvert enkelt tilfelle av et parallellepiped vil være forskjellige.

For et vilkårlig parallellepiped er det sant at volumet er lik den absolutte verdien av det trippel skalarproduktet av vektorene til tre sider som kommer fra ett toppunkt. Imidlertid er det ingen formel for å beregne volumet til et vilkårlig parallellepiped.

For et rektangulært parallellepiped gjelder følgende formler:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V - volum av figuren;
• Sb - sideoverflateareal;
• Sp - totalt overflateareal;
• a - lengde;
• b - bredde;
• c - høyde.

Et annet spesialtilfelle av et parallellepiped der alle sider er firkanter er en terning. Hvis noen av sidene av kvadratet er angitt med bokstaven a, kan følgende formler brukes for overflatearealet og volumet til denne figuren:

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• S - området av figuren,
• V er volumet til figuren,
• a er lengden på figurens ansikt.

Den siste typen parallellepiped vi vurderer er et rett parallellepiped. Hva er forskjellen på et høyre parallellepiped og en kuboid, spør du. Faktum er at bunnen av et rektangulært parallellepiped kan være et hvilket som helst parallellogram, men bunnen av et rett parallellepiped kan bare være et rektangel. Hvis vi betegner omkretsen av basen, lik summen av lengdene av alle sider, som Po, og betegner høyden med bokstaven h, har vi rett til å bruke følgende formler for å beregne volumet og arealene av totalen og sideflater.

Enkelt sagt, dette er grønnsaker kokt i vann etter en spesiell oppskrift. Jeg vil vurdere to innledende komponenter (grønnsakssalat og vann) og det ferdige resultatet - borscht. Geometrisk kan det betraktes som et rektangel, der den ene siden representerer salat og den andre siden representerer vann. Summen av disse to sidene vil indikere borsjtsj. Diagonalen og arealet til et slikt "borscht"-rektangel er rent matematiske konsepter og brukes aldri i borsjtsj-oppskrifter.

Hvordan blir salat og vann til borsjtsj fra et matematisk synspunkt? Hvordan kan summen av to linjestykker bli trigonometri? For å forstå dette trenger vi lineære vinkelfunksjoner.

Du finner ikke noe om lineære vinkelfunksjoner i lærebøker i matematikk. Men uten dem kan det ikke være noen matematikk. Matematikkens lover fungerer i likhet med naturlovene uavhengig av om vi vet om deres eksistens eller ikke.

Lineære vinkelfunksjoner er addisjonslover. Se hvordan algebra blir til geometri og geometri blir til trigonometri.

Er det mulig å klare seg uten lineære vinkelfunksjoner? Det er mulig, fordi matematikere fortsatt klarer seg uten dem. Trikset med matematikere er at de alltid bare forteller oss om de problemene de selv vet hvordan de skal løse, og aldri snakker om de problemene de ikke kan løse. Se. Hvis vi kjenner resultatet av addisjon og ett ledd, bruker vi subtraksjon for å finne det andre leddet. Alle. Vi kjenner ikke andre problemer, og vi vet ikke hvordan vi skal løse dem. Hva skal vi gjøre hvis vi bare kjenner resultatet av addisjonen og ikke kjenner begge leddene? I dette tilfellet må resultatet av addisjonen dekomponeres i to ledd ved å bruke lineære vinkelfunksjoner. Deretter velger vi selv hva ett ledd kan være, og lineære vinkelfunksjoner viser hva det andre leddet skal være slik at resultatet av addisjonen blir akkurat det vi trenger. Det kan være et uendelig antall slike leddpar. I hverdagen Vi kan klare oss fint uten å dekomponere summen er nok for oss. Men når vitenskapelig forskning naturlover, kan det være svært nyttig å dekomponere en sum i dens komponenter.

En annen addisjonslov som matematikere ikke liker å snakke om (et annet av triksene deres) krever at begrepene har samme måleenheter. For salat, vann og borsjtsj kan dette være vekt-, volum-, verdi- eller måleenheter.

Figuren viser to forskjellsnivåer for matematisk . Det første nivået er forskjellene i tallfeltet, som er angitt en, b, c. Dette er hva matematikere gjør. Det andre nivået er forskjellene i feltet for måleenheter, som er vist i firkantede parenteser og indikert med bokstaven U. Dette er hva fysikere gjør. Vi kan forstå det tredje nivået - forskjeller i området til gjenstandene som beskrives. Ulike objekter kan ha samme antall identiske måleenheter. Hvor viktig dette er, kan vi se i eksemplet med borschttrigonometri. Hvis vi legger til subscripts til samme enhetsbetegnelse for forskjellige objekter, kan vi si nøyaktig hvilken matematisk mengde som beskriver et bestemt objekt og hvordan det endrer seg over tid eller på grunn av våre handlinger. Brev W Jeg vil betegne vann med en bokstav S Jeg vil betegne salaten med en bokstav B- borsch. Slik vil lineære vinkelfunksjoner for borsjtsj se ut.

Hvis vi tar en del av vannet og en del av salaten, blir de sammen til en porsjon borsjtsj. Her foreslår jeg at du tar en liten pause fra borsjtsj og husker din fjerne barndom. Husker du hvordan vi ble lært opp til å sette kaniner og ender sammen? Det var nødvendig å finne hvor mange dyr det skulle være. Hva ble vi lært å gjøre da? Vi ble lært opp til å skille måleenheter fra tall og legge til tall. Ja, et hvilket som helst nummer kan legges til et hvilket som helst annet nummer. Dette er en direkte vei til autismen i moderne matematikk - vi gjør det på ubegripelig vis hva, uforståelig hvorfor, og veldig dårlig forstår hvordan dette forholder seg til virkeligheten, på grunn av de tre forskjellsnivåene opererer matematikere med bare ett. Det ville være mer riktig å lære hvordan man flytter fra en måleenhet til en annen.

Kaniner, ender og små dyr kan telles i stykker. En felles måleenhet for forskjellige objekter lar oss legge dem sammen. Dette er en barneversjon av problemet. La oss se på en lignende oppgave for voksne. Hva får du når du legger til kaniner og penger? Det er to mulige løsninger her.

Første alternativ. Vi bestemmer markedsverdien til kaninene og legger den til det tilgjengelige beløpet. Vi fikk den totale verdien av formuen vår i monetære termer.

Andre alternativ. Du kan legge til antall kaniner til antall sedler vi har. Vi vil motta mengden løsøre i stykker.

Som du kan se, lar den samme tilleggsloven deg få forskjellige resultater. Alt avhenger av nøyaktig hva vi ønsker å vite.

Men la oss komme tilbake til borsjten vår. Nå får vi se hva som skjer når forskjellige betydninger vinkel for lineære vinkelfunksjoner.

Vinkelen er null. Vi har salat, men ikke vann. Vi kan ikke lage borsjtsj. Mengden borsjtsj er også null. Dette betyr ikke i det hele tatt at null borsjtsj er lik null vann. Det kan være null borsjtsj med null salat (rett vinkel).

For meg personlig er dette det viktigste matematiske beviset på at . Null endrer ikke tallet når det legges til. Dette skjer fordi addisjon i seg selv er umulig hvis det bare er ett ledd og det andre leddet mangler. Du kan føle om dette som du vil, men husk - alle matematiske operasjoner med null ble oppfunnet av matematikere selv, så kast bort logikken din og dumt pugge definisjonene oppfunnet av matematikere: "divisjon med null er umulig", "ethvert tall multiplisert med null er lik null", "beyond the point null" og annet tull. Det er nok å huske en gang at null ikke er et tall, og du vil aldri igjen ha et spørsmål om null er et naturlig tall eller ikke, fordi et slikt spørsmål mister all mening: hvordan kan noe som ikke er et tall betraktes som et tall ? Det er som å spørre hvilken farge en usynlig farge skal klassifiseres som. Å legge til en null til et tall er det samme som å male med maling som ikke er der. Vi viftet med en tørr pensel og fortalte alle at «vi malte». Men jeg avviker litt.

Vinkelen er større enn null, men mindre enn førtifem grader. Vi har mye salat, men ikke nok vann. Som et resultat vil vi få tykk borsjtsj.

Vinkelen er førtifem grader. Vi har like mengder vann og salat. Dette er den perfekte borsjten (tilgi meg, kokker, det er bare matematikk).

Vinkelen er større enn førtifem grader, men mindre enn nitti grader. Vi har mye vann og lite salat. Du vil få flytende borsjtsj.

Rett vinkel. Vi har vann. Alt som gjenstår av salaten er minner, mens vi fortsetter å måle vinkelen fra linjen som en gang markerte salaten. Vi kan ikke lage borsjtsj. Mengden borsjtsj er null. I dette tilfellet, hold på og drikk vann mens du har det)))

Her. Noe sånt. Jeg kan fortelle andre historier her som ville vært mer enn passende her.

To venner hadde sin andel i en felles virksomhet. Etter å ha drept en av dem, gikk alt til den andre.

Fremveksten av matematikk på planeten vår.

Alle disse historiene er fortalt på matematikkspråket ved hjelp av lineære vinkelfunksjoner. En annen gang vil jeg vise deg den virkelige plassen til disse funksjonene i strukturen til matematikk. I mellomtiden, la oss gå tilbake til borschttrigonometri og vurdere anslag.

Lørdag 26. oktober 2019

onsdag 7. august 2019

Avsluttende samtalen om, må vi vurdere et uendelig sett. Poenget er at begrepet "uendelighet" påvirker matematikere som en boa constrictor påvirker en kanin. Uendelighetens skjelvende redsel fratar matematikere sunn fornuft. Her er et eksempel:

Den opprinnelige kilden er lokalisert. Alfa står for reelt tall. Likhetstegnet i uttrykkene ovenfor indikerer at hvis du legger et tall eller uendelig til uendelig, vil ingenting endre seg, resultatet vil være den samme uendeligheten. Hvis vi tar det uendelige settet med naturlige tall som et eksempel, kan de vurderte eksemplene representeres i følgende form:

For å tydelig bevise at de hadde rett, kom matematikere opp med mange forskjellige metoder. Personlig ser jeg på alle disse metodene som sjamaner som danser med tamburiner. I hovedsak koker de alle ned til at enten er noen av rommene ubebodde og nye gjester flytter inn, eller at noen av de besøkende blir kastet ut i korridoren for å gi plass til gjester (veldig menneskelig). Jeg presenterte mitt syn på slike beslutninger i form av en fantasihistorie om blondinen. Hva er resonnementet mitt basert på? Å flytte et uendelig antall besøkende tar uendelig mye tid. Etter at vi har forlatt det første rommet for en gjest, vil en av de besøkende alltid gå langs korridoren fra rommet sitt til det neste inntil tidenes ende. Selvfølgelig kan tidsfaktoren ignoreres dumt, men dette vil være i kategorien "ingen lov er skrevet for idioter." Alt avhenger av hva vi gjør: justere virkeligheten til matematiske teorier eller omvendt.

Hva er et "endeløst hotell"? Et uendelig hotell er et hotell som alltid har et hvilket som helst antall tomme senger, uavhengig av hvor mange rom som er opptatt. Hvis alle rommene i den endeløse "besøks"-korridoren er opptatt, er det en annen endeløs korridor med "gjesterom". Det vil være uendelig mange slike korridorer. Dessuten har det "uendelige hotellet" et uendelig antall etasjer i et uendelig antall bygninger på et uendelig antall planeter i et uendelig antall universer skapt av et uendelig antall guder. Matematikere er ikke i stand til å ta avstand fra det banale hverdagslige problemer: Gud-Allah-Buddha er alltid bare én, det er bare ett hotell, det er bare én korridor. Så matematikere prøver å sjonglere med serienumrene til hotellrom, og overbeviser oss om at det er mulig å «skubbe inn det umulige».

Jeg vil demonstrere logikken i resonnementet mitt for deg ved å bruke eksemplet med et uendelig sett med naturlige tall. Først må du svare på et veldig enkelt spørsmål: hvor mange sett med naturlige tall er det - ett eller mange? Det er ikke noe riktig svar på dette spørsmålet, siden vi fant opp tall selv ikke eksisterer i naturen. Ja, naturen er flink til å telle, men til dette bruker hun andre matematiske verktøy som ikke er kjent for oss. Jeg skal fortelle deg hva naturen tenker en annen gang. Siden vi fant opp tall, vil vi selv bestemme hvor mange sett med naturlige tall det er. La oss vurdere begge alternativene, som det sømmer seg for ekte forskere.

Alternativ én. "La oss gis" ett enkelt sett med naturlige tall, som ligger rolig på hylla. Vi tar dette settet fra hyllen. Det er det, det er ingen andre naturlige tall igjen på hyllen og ingen steder å ta dem. Vi kan ikke legge til en til dette settet, siden vi allerede har det. Hva om du virkelig vil? Ikke noe problem. Vi kan ta en fra settet vi allerede har tatt og returnere den til hyllen. Etter det kan vi ta en fra hyllen og legge den til det vi har igjen. Som et resultat vil vi igjen få et uendelig sett med naturlige tall. Du kan skrive ned alle manipulasjonene våre slik:

Jeg skrev ned handlingene i algebraisk notasjon og i settteorinotasjon, med en detaljert liste over elementene i settet. Subskriptet indikerer at vi har ett og eneste sett med naturlige tall. Det viser seg at settet med naturlige tall forblir uendret bare hvis ett trekkes fra det og den samme enheten legges til.

Alternativ to. Vi har mange forskjellige uendelige sett med naturlige tall på hyllen vår. Jeg understreker - ANNERLEDES, til tross for at de praktisk talt ikke kan skilles. La oss ta et av disse settene. Så tar vi ett fra et annet sett med naturlige tall og legger det til settet vi allerede har tatt. Vi kan til og med legge til to sett med naturlige tall. Dette er hva vi får:

Underskriftene "en" og "to" indikerer at disse elementene tilhørte forskjellige sett. Ja, hvis du legger til en til et uendelig sett, vil resultatet også være et uendelig sett, men det vil ikke være det samme som det opprinnelige settet. Hvis du legger til et nytt uendelig sett til ett uendelig sett, er resultatet et nytt uendelig sett som består av elementene i de to første settene.

Settet med naturlige tall brukes til å telle på samme måte som en linjal brukes til å måle. Tenk deg nå at du har lagt til én centimeter til linjalen. Dette vil være en annen linje, ikke lik den opprinnelige.

Du kan godta eller ikke akseptere resonnementet mitt - det er din egen sak. Men hvis du noen gang støter på matematiske problemer, bør du vurdere om du følger veien til falske resonnementer som er tråkket av generasjoner av matematikere. Tross alt danner det å studere matematikk, først av alt, en stabil stereotypi av tenkning i oss, og først da øker våre mentale evner (eller omvendt fratar oss fritenking).

pozg.ru

Søndag 4. august 2019

Jeg holdt på å fullføre et etterskrift til en artikkel om og så denne fantastiske teksten på Wikipedia:

Vi leser: «... rik teoretisk grunnlag Matematikken til Babylon hadde ikke en helhetlig karakter og ble redusert til et sett med forskjellige teknikker, blottet for et felles system og bevisgrunnlag."

Wow! Hvor smarte vi er og hvor godt vi kan se andres mangler. Er det vanskelig for oss å se moderne matematikk i samme sammenheng? Litt omskrivning av teksten ovenfor, fikk jeg personlig følgende:

Det rike teoretiske grunnlaget for moderne matematikk er ikke helhetlig i naturen og er redusert til et sett med forskjellige seksjoner, blottet for et felles system og bevisgrunnlag.

Jeg vil ikke gå langt for å bekrefte ordene mine - den har et språk og konvensjoner som er forskjellig fra språket og konvensjonene til mange andre grener av matematikk. De samme navnene i ulike grener av matematikken kan ha forskjellige betydninger. Jeg ønsker å vie en hel serie publikasjoner til de mest åpenbare feilene i moderne matematikk. Vi sees snart.

Lørdag 3. august 2019

Hvordan dele opp et sett i delmengder? For å gjøre dette må du angi en ny måleenhet som er til stede i noen av elementene i det valgte settet. La oss se på et eksempel.

Måtte vi ha masse EN bestående av fire personer. Dette settet er dannet på grunnlag av "folk." La oss betegne elementene i dette settet med bokstaven EN, vil abonnementet med et nummer indikere serienummeret til hver person i dette settet. La oss introdusere en ny måleenhet "kjønn" og betegne den med bokstaven b. Siden seksuelle egenskaper er iboende i alle mennesker, multipliserer vi hvert element i settet EN basert på kjønn b. Legg merke til at vårt sett med "mennesker" nå har blitt et sett med "mennesker med kjønnskarakteristikker." Etter dette kan vi dele de seksuelle egenskapene inn i mannlige bm og kvinners bw seksuelle egenskaper. Nå kan vi bruke et matematisk filter: vi velger en av disse seksuelle egenskapene, uansett hvilken - mann eller kvinne. Hvis en person har det, multipliserer vi det med en, hvis det ikke er et slikt tegn, multipliserer vi det med null. Og så bruker vi vanlig skolematematikk. Se hva som skjedde.

Etter multiplikasjon, reduksjon og omorganisering endte vi opp med to delmengder: delmengden av menn Bm og en undergruppe av kvinner Bw. Matematikere resonnerer omtrent på samme måte når de anvender settteori i praksis. Men de forteller oss ikke detaljene, men gir oss det ferdige resultatet - "mange mennesker består av en undergruppe av menn og en undergruppe av kvinner." Naturligvis kan du ha et spørsmål: hvor riktig har matematikken blitt brukt i transformasjonene som er skissert ovenfor? Jeg tør å forsikre deg om at i hovedsak alt ble gjort riktig, det er nok å kjenne til det matematiske grunnlaget for aritmetikk, boolsk algebra og andre grener av matematikken. Hva er det? En annen gang skal jeg fortelle deg om dette.

Når det gjelder supersett, kan du kombinere to sett til ett supersett ved å velge måleenheten som finnes i elementene i disse to settene.

Som du kan se, gjør måleenheter og vanlig matematikk mengdlære til en relikvie fra fortiden. Et tegn på at alt ikke er i orden med mengden teori er at for mengden teori oppfunnet matematikere eget språk og egne notasjoner. Matematikere handlet som sjamaner en gang gjorde. Bare sjamaner vet hvordan de "riktig" skal bruke sin "kunnskap". De lærer oss denne "kunnskapen".

Avslutningsvis vil jeg vise deg hvordan matematikere manipulerer .

mandag 7. januar 2019

I det femte århundre f.Kr. formulerte den antikke greske filosofen Zeno av Elea sine berømte aporiaer, den mest kjente av disse er "Akilles og skilpadden". Slik høres det ut:

La oss si at Akilles løper ti ganger raskere enn skilpadden og er tusen skritt bak den. I løpet av tiden det tar Akilles å løpe denne distansen, vil skilpadden krype hundre skritt i samme retning. Når Akilles løper hundre skritt, kryper skilpadden ytterligere ti skritt, og så videre. Prosessen vil fortsette i det uendelige, Akilles vil aldri ta igjen skilpadden.

Dette resonnementet ble et logisk sjokk for alle påfølgende generasjoner. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Alle betraktet Zenons aporia på en eller annen måte. Sjokket var så sterkt at " ... diskusjonene fortsetter den dag i dag, det vitenskapelige samfunnet har ennå ikke vært i stand til å komme til en felles mening om essensen av paradokser ... matematisk analyse, settteori, nye fysiske og filosofiske tilnærminger var involvert i studiet av problemet; ; ingen av dem ble en allment akseptert løsning på problemet..."[Wikipedia, "Zenos Aporia". Alle forstår at de blir lurt, men ingen forstår hva bedraget består av.

Fra et matematisk synspunkt demonstrerte Zeno i sin aporia tydelig overgangen fra kvantitet til . Denne overgangen innebærer bruk i stedet for permanente. Så vidt jeg forstår, matematisk apparat Bruken av variable måleenheter er enten ikke utviklet ennå, eller så har den ikke blitt brukt på Zenos aporia. Å bruke vår vanlige logikk fører oss inn i en felle. Vi, på grunn av treghet i tenkningen, bruker konstante tidsenheter på den gjensidige verdien. Fra et fysisk synspunkt ser dette ut som at tiden går ned til den stopper helt i det øyeblikket Akilles innhenter skilpadden. Hvis tiden stopper, kan ikke Akilles lenger løpe unna skilpadden.

Hvis vi snur vår vanlige logikk, faller alt på plass. Akilles løper med konstant hastighet. Hvert påfølgende segment av banen hans er ti ganger kortere enn den forrige. Følgelig er tiden brukt på å overvinne den ti ganger mindre enn den forrige. Hvis vi bruker begrepet "uendelighet" i denne situasjonen, vil det være riktig å si "Akilles vil ta igjen skilpadden uendelig raskt."

Hvordan unngå denne logiske fellen? Forbli i konstante tidsenheter og ikke bytt til gjensidige enheter. På Zenos språk ser det slik ut:

På den tiden det tar Akilles å løpe tusen skritt, vil skilpadden krype hundre skritt i samme retning. I løpet av neste tidsintervall lik det første, vil Akilles løpe ytterligere tusen skritt, og skilpadden vil krype hundre skritt. Nå er Akilles åtte hundre skritt foran skilpadden.

Denne tilnærmingen beskriver virkeligheten tilstrekkelig uten noen logiske paradokser. Men dette er ikke en fullstendig løsning på problemet. Einsteins uttalelse om uimotståelig lyshastighet er veldig lik Zenos aporia "Akilles og skilpadden". Vi må fortsatt studere, tenke nytt og løse dette problemet. Og løsningen må ikke søkes i det uendelige store antall, men i måleenheter.

En annen interessant aporia av Zeno forteller om en flygende pil:

En flygende pil er ubevegelig, siden den i hvert øyeblikk er i ro, og siden den er i ro i hvert øyeblikk av tiden, er den alltid i ro.

I denne aporiaen overvinnes det logiske paradokset veldig enkelt - det er nok til å klargjøre at i hvert øyeblikk er en flygende pil i ro på forskjellige punkter i rommet, som faktisk er bevegelse. Et annet poeng må bemerkes her. Fra ett fotografi av en bil på veien er det umulig å fastslå verken bevegelsen eller avstanden til den. For å finne ut om en bil beveger seg, trenger du to bilder tatt fra samme punkt inn forskjellige øyeblikk tid, men avstanden kan ikke bestemmes ut fra dem. For å bestemme avstanden til en bil, trenger du to bilder tatt fra forskjellige punkter i rommet på ett tidspunkt, men fra dem kan du ikke bestemme bevegelsen (selvfølgelig trenger du fortsatt ytterligere data for beregninger, trigonometri vil hjelpe deg ). Det jeg vil påpeke spesiell oppmerksomhet, er at to punkter i tid og to punkter i rom er forskjellige ting som ikke bør forveksles, fordi de gir forskjellige muligheter for forskning.
Jeg skal vise deg prosessen med et eksempel. Vi velger det "røde faststoffet i en kvise" - dette er vår "helhet". Samtidig ser vi at disse tingene er med bue, og det er uten bue. Etter det velger vi en del av "helheten" og danner et sett "med en bue". Slik får sjamaner maten sin ved å knytte settteorien til virkeligheten.

La oss nå gjøre et lite triks. La oss ta "fast med en kvise og en sløyfe" og kombinere disse "helhetene" i henhold til farge, og velge de røde elementene. Vi fikk mye "rødt". Nå er det siste spørsmålet: er de resulterende settene "med bue" og "røde" det samme settet eller to forskjellige sett? Bare sjamaner vet svaret. Mer presist, de selv vet ingenting, men som de sier, så blir det.

Dette enkle eksemplet viser at settteori er fullstendig ubrukelig når det kommer til virkeligheten. Hva er hemmeligheten? Vi dannet et sett med "rødt solid med en kvise og en sløyfe." Dannelsen skjedde i henhold til fire forskjellige måleenheter: farge (rød), styrke (fast), ruhet (kvisit), dekorasjon (med sløyfe). Bare et sett med måleenheter lar oss beskrive virkelige objekter tilstrekkelig på matematikkspråket. Slik ser det ut.

Bokstaven "a" med forskjellige indekser angir forskjellige måleenheter. Måleenhetene som "hele" skilles ut med på det foreløpige stadiet er markert i parentes. Måleenheten som settet dannes med er tatt ut av parentes. Den siste linjen viser det endelige resultatet - et element i settet. Som du kan se, hvis vi bruker måleenheter for å danne et sett, avhenger ikke resultatet av rekkefølgen av handlingene våre. Og dette er matematikk, og ikke sjamanenes dans med tamburiner. Sjamaner kan "intuitivt" komme til det samme resultatet, og hevder at det er "åpenbart", fordi måleenheter ikke er en del av deres "vitenskapelige" arsenal.

Ved å bruke måleenheter er det veldig enkelt å dele ett sett eller kombinere flere sett til ett supersett. La oss se nærmere på algebraen til denne prosessen.

I denne leksjonen vil alle kunne studere emnet "Rektangulært parallellepiped". I begynnelsen av leksjonen vil vi gjenta hva vilkårlige og rette parallellepiped er, husk egenskapene til deres motsatte flater og diagonaler til parallellepipedet. Deretter skal vi se på hva en kuboid er og diskutere dens grunnleggende egenskaper.

Tema: Vinkelretthet av linjer og plan

Leksjon: Cuboid

En overflate sammensatt av to like parallellogrammer ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 og fire parallellogrammer ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 kalles parallellepipedum(Fig. 1).

Ris. 1 parallellpiped

Det vil si: vi har to like parallellogrammer ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 (baser), de ligger i parallelle plan slik at sidekantene AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 er parallelle. Dermed kalles en overflate sammensatt av parallellogrammer parallellepipedum.

Dermed er overflaten til et parallellepiped summen av alle parallellogrammene som utgjør parallellepipedet.

1. De motsatte flatene til et parallellepiped er parallelle og like.

(formene er like, det vil si at de kan kombineres ved å overlappe)

For eksempel:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (like parallellogrammer per definisjon),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (siden AA 1 B 1 B og DD 1 C 1 C er motsatte sider av parallellepipedet),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (siden AA 1 D 1 D og BB 1 C 1 C er motsatte sider av parallellepipedet).

2. Diagonalene til et parallellepiped skjærer hverandre i ett punkt og halveres av dette punktet.

Diagonalene til parallellepipedet AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B skjærer hverandre i ett punkt O, og hver diagonal er delt i to med dette punktet (fig. 2).

Ris. 2 Diagonalene til et parallellepipedum skjærer hverandre og er delt i to av skjæringspunktet.

3. Det er tre firedobler av like og parallelle kanter på et parallellepiped: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Definisjon. Et parallellepiped kalles rett hvis sidekantene er vinkelrett på basene.

La sidekanten AA 1 være vinkelrett på basen (fig. 3). Dette betyr at rett linje AA 1 er vinkelrett på rette linjer AD og AB, som ligger i grunnplanet. Dette betyr at sideflatene inneholder rektangler. Og basene inneholder vilkårlige parallellogrammer. La oss betegne ∠BAD = φ, vinkelen φ kan være hvilken som helst.

Ris. 3 Høyre parallellepipedum

Så, et høyre parallellepiped er et parallellepiped der sidekantene er vinkelrett på bunnen av parallellepipedet.

Definisjon. Parallepipedet kalles rektangulært, hvis sidekantene er vinkelrette på basen. Basene er rektangler.

Den parallellepipediserte ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 er rektangulær (fig. 4), hvis:

1. AA 1 ⊥ ABCD (sidekant vinkelrett på basens plan, det vil si en rett parallellepiped).

2. ∠DÅRLIG = 90°, dvs. basen er et rektangel.

Ris. 4 Rektangulært parallellepipedum

Et rektangulært parallellepiped har alle egenskapene til et vilkårlig parallellepiped. Men det er ytterligere egenskaper som er avledet fra definisjonen av en cuboid.

Så, kuboid er et parallellepiped hvis sidekanter er vinkelrett på basen. Grunnlaget til en kuboid er et rektangel.

1. I et rektangulært parallellepiped er alle seks flatene rektangler.

ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 er rektangler per definisjon.

2. Laterale ribber er vinkelrett på basen. Dette betyr at alle sideflatene til et rektangulært parallellepiped er rektangler.

3. Alle dihedriske vinkler på et rektangulært parallellepiped er rett.

La oss for eksempel se på den dihedriske vinkelen til et rektangulært parallellepiped med kant AB, dvs. den dihedrale vinkelen mellom planene ABC 1 og ABC.

AB er en kant, punkt A 1 ligger i ett plan - i planet ABB 1, og punkt D i det andre - i planet A 1 B 1 C 1 D 1. Da kan den dihedriske vinkelen som vurderes også betegnes som følger: ∠A 1 ABD.

La oss ta punkt A på kanten AB. AA 1 er vinkelrett på kanten AB i planet АВВ-1, AD er vinkelrett på kanten AB i planet ABC. Dette betyr at ∠A 1 AD er den lineære vinkelen til en gitt dihedral vinkel. ∠A 1 AD = 90°, som betyr at den dihedrale vinkelen ved kanten AB er 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

På samme måte er det bevist at alle dihedriske vinkler på et rektangulært parallellepiped er riktige.

Kvadraten til diagonalen til et rektangulært parallellepiped er lik summen av kvadratene av dets tre dimensjoner.

Note. Lengdene til de tre kantene som kommer fra ett toppunkt av en kuboid er målene til cuboid. De kalles noen ganger lengde, bredde, høyde.

Gitt: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - rektangulært parallellepipedum (fig. 5).

Bevis: .

Ris. 5 Rektangulær parallellepipedum

Bevis:

Rett linje CC 1 er vinkelrett på plan ABC, og derfor på rett linje AC. Dette betyr at trekanten CC 1 A er rettvinklet. I følge Pythagoras teorem:

Tenk på den rette trekanten ABC. I følge Pythagoras teorem:

Men BC og AD er motsatte sider av rektangelet. Så BC = AD. Da:

Fordi , A , Det. Siden CC 1 = AA 1, er dette det som måtte bevises.

Diagonalene til et rektangulært parallellepiped er like.

La oss betegne dimensjonene til parallellepipedet ABC som a, b, c (se fig. 6), da AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

|
parallellepiped, parallellepiped foto
Parallelepiped(gammelgresk παραλληλ-επίπεδον fra gammelgresk παρ-άλληλος - "parallell" og annen gresk ἐπί-πεδον - "plane the base, orquivalent" - som er "plane the base, orquivalent") seks ansikter og hver av dem - parallellogram.

• 1 Typer parallellepiped
• 2 Grunnelementer
• 3 egenskaper
• 4 grunnleggende formler
  • 4.1 Høyre parallellepiped
  • 4.2 Rektangulært parallellepipedum
  • 4.3 Kube
  • 4.4 Eventuell parallellepiped
• 5 matematisk analyse
• 6 Merknader
• 7 lenker

Typer parallellepiped

Rektangulært parallellepipedum

Det finnes flere typer parallellepiped:

• En kuboid er et parallellepiped hvis alle flater er rektangler.
• Et skrånende parallellepiped er et parallellepiped hvis sideflater ikke er vinkelrett på basene.

Grunnleggende elementer

To flater av et parallellepiped som ikke har en felles kant kalles motsatte, og de som har en felles kant kalles tilstøtende. To hjørner av et parallellepiped som ikke tilhører samme ansikt kalles motsatte. Segmentet som forbinder motsatte hjørner kalles diagonalen til et parallellepiped. Lengden på tre kanter av et rektangulært parallellepiped som har et felles toppunkt kalles dets dimensjoner.

Egenskaper

• Parallepipedet er symmetrisk rundt midten av diagonalen.
• Ethvert segment med ender som tilhører overflaten av parallellepipedet og passerer gjennom midten av diagonalen, er delt i to av det; spesielt, alle diagonaler av et parallellepiped skjærer hverandre i ett punkt og er todelt av det.
• De motsatte flatene til et parallellepiped er parallelle og like.
• Kvadraten av den diagonale lengden til et rektangulært parallellepiped er lik summen av kvadratene av dets tre dimensjoner.

Grunnleggende formler

Høyre parallellepipedum

Sideoverflateareal Sb=Po*h, der Po er omkretsen av basen, h er høyden

Totalt overflateareal Sp=Sb+2So, hvor So er grunnflaten

Volum V=Så*h

Rektangulært parallellepipedum

Hovedartikkel: Rektangulært parallellepipedum

Sideoverflateareal Sb=2c(a+b), hvor a, b er sidene av basen, c er sidekanten til det rektangulære parallellepipedet

Totalt overflateareal Sp=2(ab+bc+ac)

Volum V=abc, hvor a, b, c er dimensjonene til et rektangulært parallellepiped.

Kube

Overflateareal:
Volum: , hvor er kanten på kuben.

Eventuell parallellepiped

Volumet og forholdene i et skrånende parallellepiped bestemmes ofte ved hjelp av vektoralgebra. Volumet til et parallellepiped er lik absoluttverdien av det blandede produkter av tre vektorer definert av de tre sidene av et parallellepiped som kommer fra ett toppunkt. Forholdet mellom lengdene på sidene til et parallellepiped og vinklene mellom dem gir utsagnet at gramdeterminanten til de indikerte tre vektorene er lik kvadratet deres blandet produkt:215.

I matematisk analyse

I matematisk analyse forstås et n-dimensjonalt rektangulært parallellepiped som et sett med punkter i formen

Notater

1. Gammel gresk-russisk ordbok av Dvoretsky "παραλληλ-επίπεδον"
2. Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektoralgebra i eksempler og problemer. - M.: forskerskolen, 1985. - 232 s.

Lenker

Wiktionary har en artikkel "parallellepiped"

• Rektangulært parallellepipedum
• Parallelepiped, pedagogisk film

Polyeder
Korrekt (platoniske faste stoffer)
Korrekt ikke-konveks	Stjernet dodekaeder Stjernet icosidodecahedron Stjernet icosahedron Stellet polyeder Stjernet oktaeder
Konveks	Arkimedeiske faste stoffer Cubooctahedron Icosidodecahedron Trunked tetrahedron Truncated octahedron Truncated icosahedron Truncated cube Truncated dodecahedron Rhombicocuboctahedron Rhombic truncated cuboctahedron Bruk vanlig icosidodecahedron Vanlig prisme Antiprisme katalanske kropper Rhombododecahedron Rhombothriacontahedron Triakisthetrahedron Tetrakishexahedron Pentakisdodecahedron Triakisoctahedron Triakisicosahedron Deltoidal icositetrahedron Deltoidal hexexontahedron Femkantet icositetrahedron Pentagonal hexecahedronca Disdakis Uten full romlig symmetri Pyramid Prisme Bipyramid Antiprisme Zonohedron Rombohedron Prismatoid Tetrahedron Avkortet pyramide Pentagondodecahedron Parallelohedron
formler, teoremer, teorier	Alexandrovs teorem om konvekse polyeder Bleeckers teorem Cauchys teorem om polyeder Lindelöfs teorem om polyeder Minkowskis teorem om polyeder Sabitovs teorem Eulers teorem om polyeder Schläflis formel
Annen	Ortosentrisk tetraeder Likesidet tetraeder Rektangulær parallellepipedum Polyedergruppe Dodekaeder Solid vinkel Enhetskube Fleksibel polyeder Utvikling Schläfli symbol Johnson polyhedron Flerdimensjonal (N-dimensjonal tetraeder Tesseract Penteract Hexeract Hepteract Octeract Enteneract Dekeract Hypercube) Parquet

parallellepiped, parallellepiped delgemel, parallellepiped zurag, parallellepiped og parallellogram, parallellepiped laget av papp, parallellepiped bilder, parallellepiped volum, parallellepiped definisjon, parallellepiped formler, parallellepiped foto

Parallelepiped informasjon om