Цифры от 1 до бесконечности. Самые большие числа в математике

Ребенок сегодня спросил: "А как называется самое большое число в мире?" Вопрос интересный. Полез в интернет и вот на первой строчке Яндекса нашел подробнейшую статью в ЖЖ. Там все подробно расписано. Оказывается существует две системы наименования чисел: Английская и Американская. И, например, квадриллион по английской и американской системам — это совсем разные.числа! Самым большим не составным числом является Миллеиллион = 10 в 3003 степени.
Сын в результате пришел ко вполне разумному вводу что считать можно бесконечно.

Оригинал взят у ctac в Самое большое число в мире

В детстве меня мучил вопрос, какое существует
самое большое число, и я изводил этим дурацким
вопросом практически всех подряд. Узнав число
миллион, я спрашивал, а есть ли число больше
миллиона. Миллиард? А больше миллиарда? Триллион?
А больше триллиона? Наконец, нашёлся кто-то умный,
кто мне объяснил, что вопрос глуп, так как
достаточно всего лишь прибавить к самому
большому числу единицу, и окажется, что оно
никогда не было самым большим, так как существуют
число ещё больше.

И вот, спустя много лет, я решил задаться другим
вопросом, а именно: какое существует самое
большое число, которое имеет собственное
название? Благо, сейчас есть инет и озадачить
им можно терпеливые поисковые машины, которые не
будут называть мои вопросы идиотскими;-).
Собственно, это я и сделал, и вот, что в результате
выяснил.

Существуют две системы наименования чисел —
американская и английская.

Американская система постороена довольно
просто. Все названия больших чисел строятся так:
в начале идет латинское порядковое числительное,
а в конце к ней добавляется суффикс -иллион.
Исключение составляет название "миллион"
которое является названием числа тысяча (лат. mille )
и увеличительного суффикса -иллион (см. таблицу).
Так получаются числа — триллион, квадриллион,
квинтиллион, секстиллион, септиллион, октиллион,
нониллион и дециллион. Американская система
используется в США, Канаде, Франции и России.
Узнать количество нулей в числе, записанном по
американской системе, можно по простой формуле
3·x+3 (где x - латинское числительное).

Английская система наименования наиболее
распространена в мире. Ей пользуются, например, в
Великобритании и Испании, а также в большинстве
бывших английских и испанских колоний. Названия
чисел в этой системе строятся так: так: к
латинскому числительному добавляют суффикс
-иллион, следущее число (в 1000 раз большее)
строится по принципу — то же самое
латинское числительное, но суффикс — -иллиард.
То есть после триллиона в английской системе
идёт триллиард, а только затем квадриллион, за
которым следует квадриллиард и т.д. Таким
образом, квадриллион по английской и
американской системам — это совсем разные
числа! Узнать количество нулей в числе,
записанном по английской системе и
оканчивающегося суффиксом -иллион, можно по
формуле 6·x+3 (где x - латинское числительное) и
по формуле 6·x+6 для чисел, оканчивающихся на
-иллиард.

Из английской системы в русский язык перешло
только число миллиард (10 9), которое всё же
было бы правильнее называть так, как его называют
американцы — биллионом, так как у нас принята
именно американская система. Но кто у нас в
стране что-то делает по правилам! ;-) Кстати,
иногда в русском языке употребляют и слово
триллиард (можете сами в этом убедиться,
запустив поиск в Гугле или Яндексе) и означает оно, судя по
всему, 1000 триллионов, т.е. квадриллион.

Кроме чисел, записанных при помощи латинских
префиксов по американской или англйской системе,
известны и так называемые внесистемные числа,
т.е. числа, которые имеют свои собственные
названия безо всяких латинских префиксов. Таких
чисел существует несколько, но подробнее о них я
расскажу чуть позже.

Вернемся к записи при помощи латинских
числительных. Казалось бы, что ими можно
записывать числа до бессконечности, но это не
совсем так. Сейчас объясню почему. Посмотрим для
начала как называются числа от 1 до 10 33:

И вот, теперь возникает вопрос, а что дальше. Что
там за дециллионом? В принципе, можно, конечно же,
при помощи объединения приставок породить такие
монстры, как: андецилион, дуодециллион,
тредециллион, кваттордециллион, квиндециллион,
сексдециллион, септемдециллион, октодециллион и
новемдециллион, но это уже будут составные
названия, а нам были интересны именно
собственные названия чисел. Поэтому собственных
имён по этой системе, помимо указанных выше, ещё
можно получить лишь всего три
— вигинтиллион (от лат. viginti —
двадцать), центиллион (от лат. centum — сто) и
миллеиллион (от лат. mille — тысяча). Больше
тысячи собственных названий для чисел у римлян
не имелось (все числа больше тысячи у них были
составными). Например, миллион (1 000 000) римляне
называли decies centena milia , то есть "десять сотен
тысяч". А теперь, собственно, таблица:

Таким образом, по подобной системе числа
больше, чем 10 3003 , у которого было бы
собственное, несоставное название получить
невозможно! Но тем не менее числа больше
миллеиллиона известны — это те самые
внесистемные числа. Расскажем, наконец-то, о них.

Самое маленькое такое число — это мириада
(оно есть даже в словаре Даля), которое означает
сотню сотен, то есть — 10 000. Слово это, правда,
устарело и практически не используется, но
любопытно, что широко используется слово
"мириады", которое означает вовсе не
определённое число, а бесчисленное, несчётное
множество чего-либо. Считается, что слово мириада
(англ. myriad) пришло в европейские языки из древнего
Египта.

Гугол (от англ. googol) — это число десять в
сотой степени, то есть единица со ста нулями. О
"гуголе" впервые написал в 1938 году в статье
"New Names in Mathematics" в январском номере журнала
Scripta Mathematica американский математик Эдвард Каснер
(Edward Kasner). По его словам, назвать "гуголом"
большое число предложил его девятилетний
племянник Милтон Сиротта (Milton Sirotta).
Общеизвестным же это число стало благодаря,
названной в честь него, поисковой машине Google . Обратите внимание, что
"Google" — это торговая марка, а googol — число.

В известном буддийском трактате Джайна-сутры,
относящегося к 100 г. до н.э., встречается число асанкхейя
(от кит. асэнци — неисчислимый), равное 10 140 .
Считается, что этому числу равно количество
космических циклов, необходимых для обретения
нирваны.

Гуголплекс (англ. googolplex ) - число также
придуманное Каснером со своим племянником и
означающее единицу с гуголом нулей, то есть 10 10 100 .
Вот как сам Каснер описывает это "открытие":

Words of wisdom are spoken by children at least as often as by scientists. The name
"googol" was invented by a child (Dr. Kasner"s nine-year-old nephew) who was
asked to think up a name for a very big number, namely, 1 with a hundred zeros after it.
He was very certain that this number was not infinite, and therefore equally certain that
it had to have a name. At the same time that he suggested "googol" he gave a
name for a still larger number: "Googolplex." A googolplex is much larger than a
googol, but is still finite, as the inventor of the name was quick to point out.

Mathematics and the Imagination (1940) by Kasner and James R.
Newman.

Еще большее, чем гуголплекс число — число
Скьюза (Skewes" number) было предложено Скьюзом в 1933
году (Skewes. J. London Math. Soc. 8 , 277-283, 1933.) при
доказательстве гипотезы
Риманна , касающейся простых чисел. Оно
означает e в степени e в степени e в
степени 79, то есть e e e 79 . Позднее,
Риел (te Riele, H. J. J. "On the Sign of the Difference П (x)-Li(x)."
Math. Comput. 48 , 323-328, 1987) свел число Скьюза к e e 27/4 ,
что приблизительно равно 8,185·10 370 . Понятное
дело, что раз значение числа Скьюза зависит от
числа e , то оно не целое, поэтому
рассматривать мы его не будем, иначе пришлось бы
вспомнить другие ненатуральные числа — число
пи, число e, число Авогадро и т.п.

Но надо заметить, что существует второе число
Скьюза, которое в математике обозначается как Sk 2 ,
которое ещё больше, чем первое число Скьюза (Sk 1).
Второе число Скьюза , было введённо Дж.
Скьюзом в той же статье для обозначения числа, до
которого гипотеза Риманна справедлива. Sk 2
равно 10 10 10 10 3 , то есть 10 10 10 1000
.

Как вы понимаете чем больше в числе степеней,
тем сложнее понять какое из чисел больше.
Например, посмотрев на числа Скьюза, без
специальных вычислений практически невозможно
понять, какое из этих двух чисел больше. Таким
образом, для сверхбольших чисел пользоваться
степенями становится неудобно. Мало того, можно
придумать такие числа (и они уже придуманы), когда
степени степеней просто не влезают на страницу.
Да, что на страницу! Они не влезут, даже в книгу,
размером со всю Вселенную! В таком случае встаёт
вопрос как же их записывать. Проблема, как вы
понимаете разрешима, и математики разработали
несколько принципов для записи таких чисел.
Правда, каждый математик, кто задавался этой
проблемой придумывал свой способ записи, что
привело к существованию нескольких, не связанных
друг с другом, способов для записи чисел — это
нотации Кнута, Конвея, Стейнхауза и др.

Рассмотрим нотацию Хьюго Стенхауза (H. Steinhaus. Mathematical
Snapshots , 3rd edn. 1983), которая довольно проста. Стейн
хауз предложил записывать большие числа внутри
геометрических фигур — треугольника, квадрата и
круга:

Стейнхауз придумал два новых сверхбольших
числа. Он назвал число — Мега , а число — Мегистон.

Математик Лео Мозер доработал нотацию
Стенхауза, которая была ограничена тем, что если
требовалаось записывать числа много больше
мегистона, возникали трудности и неудобства, так
как приходилось рисовать множество кругов один
внутри другого. Мозер предложил после квадратов
рисовать не круги, а пятиугольники, затем
шестиугольники и так далее. Также он предложил
формальную запись для этих многоугольников,
чтобы можно было записывать числа, не рисуя
сложных рисунков. Нотация Мозера выглядит так:

Таким образом, по нотации Мозера
стейнхаузовский мега записывается как 2, а
мегистон как 10. Кроме того, Лео Мозер предложил
называть многоугольник с числом сторон равным
меге — мегагоном. И предложил число "2 в
Мегагоне", то есть 2. Это число стало
известным как число Мозера (Moser"s number) или просто
как мозер .

Но и мозер не самое большое число. Самым большим
числом, когда-либо применявшимся в
математическом доказательстве, является
предельная величина, известная как число Грэма
(Graham"s number), впервые использованная в 1977 года в
доказательстве одной оценки в теории Рамсея. Оно
связано с бихроматическими гиперкубами и не
может быть выражено без особой 64-уровневой
системы специальных математических символов,
введённых Кнутом в 1976 году.

К сожалению, число записанное в нотации Кнута
нельзя перевести в запись по системе Мозера.
Поэтому придётся объяснить и эту систему. В
принципе в ней тоже нет ничего сложного. Дональд
Кнут (да, да, это тот самый Кнут, который написал
"Искусство программирования" и создал
редактор TeX) придумал понятие сверхстепень,
которое предложил записывать стрелками,
направленными вверх:

В общем виде это выглядит так:

Думаю, что всё понятно, поэтому вернёмся к числу
Грэма. Грэм предложил, так называемые G-числа:

Число G 63 стало называться числом
Грэма (обозначается оно часто просто как G).
Это число является самым большим известным в
мире числом и занесёно даже в "Книгу рекордов
Гинесса". А, вот , что число Грэма больше числа
Мозера.

P.S. Чтобы принести великую пользу
всему человечеству и прославиться в веках, я
решил сам придумать и назвать самое большое
число. Это число будет называться стасплекс и
оно равно числу G 100 . Запомните его, и когда
ваши дети будут спрашивать какое самое большое в
мире число, говорите им, что это число называется стасплекс .

Вопрос "Какое самое большое число в мире?", по меньшей мере, некорректен. Существуют как различные системы исчислений – десятичная, двоичная и шестнадцатеричная, так и разнообразные категории чисел – полупростые и простые, причем последние делятся на законные и незаконные. Кроме того, есть числа Скьюза (Skewes" number), Стейнхауза и других математиков, которые то ли в шутку, то ли всерьез изобретают и выкладывают на суд публики такие экзоты, как «мегистон» или «мозер».

Какое самое большое число в мире в десятичной системе

Из десятичной системы большинству «нематематиков» хорошо известны миллион, миллиард и триллион. Причем, если миллион у россиян, в основном, ассоциируется с долларовой взяткой, которую можно унести в чемоданчике, то куда распихать миллиард (не говоря уже о триллионе) североамериканских денежных знаков - у большинства не хватает фантазии. Однако в теории больших чисел существуют такие понятия, как квадриллион (десять в пятнадцатой степени – 1015), секстиллион (1021) и октиллион (1027).

В английской, наиболее широко распространенной в мире десятичной системе максимальным числом считается дециллион - 1033.

В 1938 году, в связи с развитием прикладной математики и расширением микро- и макромира, профессор Колумбийского университета (США), Эдвард Каснер (Edward Kasner) опубликовал на страницах журнала «Scripta Mathematica» предложение своего девятилетнего племянника использовать в десятичной системе исчисления в качестве самого большого числа «гугол» («googol») – представляющее собой десять в сотой степени (10100), который на бумаге выражается как единица со ста нулями. Однако они не остановились на этом и через несколько лет предложили ввести в обращение новое самое большое число в мире – «гуголплекс» (googolplex), которое представляет собой десять, возведенное в десятую степень и еще раз возведенное в сотую степень – (1010)100, выражаемое единицей, к которой справа приписан гугол нулей. Впрочем, для большинства даже профессиональных математиков и «гугол», и «гуголплекс» представляют чисто умозрительный интерес, и вряд ли в повседневной практике их можно к чему-либо применить.

Экзотические числа

Какое самое большое число в мире среди простых чисел – тех, которые могут делиться только на самих себя и на единицу. Одним из первых, кто зафиксировал самое большое простое число, равное 2 147 483 647, был великий математик Леонард Эйлер. На январь 2016 года, таким числом признано выражение, вычисляемое как 274 207 281 – 1.

Многих интересуют вопросы о том, как называются большие числа и какое число является самым большим в мире. С этими интересными вопросами и будем разбираться в данной статье.

История

Южные и восточные славянские народы для записи чисел использовали алфавитную нумерацию, причем только те буквы, которые есть в греческом алфавите. Над буквой, которая обозначала цифру, ставили специальный значок “титло”. Числовые значения букв возрастали так же, в каком порядку буквы следовали в греческом алфавите (в славянском алфавите порядок букв был немного другим). В России славянская нумерация сохранилась до конца 17 века, а при Петре I перешли к “арабской нумерации”, которой мы пользуемся и сейчас.

Названия чисел тоже менялись. Так, до 15 века число “двадцать” обозначалось как “два десяти” (два десятка), а потом сократилось для более быстрого произношения. Число 40 до 15 века называлось “четыредесяте”, затем было вытеснено словом “сорок”, обозначающим первоначально мешок, вмещающий 40 беличьих или соболиных шкурок. Название “миллион” появилось в Италии в 1500 году. Оно было образовано добавлением увеличительного суффикса к числу “милле” (тысяча). Позже данное название пришло и в русский язык.

В старинной (XVIII в.) «Арифметике» Магницкого, приводится таблица названий чисел, доведенная до «квадрильона» (10^24, по системе через 6 разрядов). Перельманом Я.И. в книге «Занимательная арифметика» приводятся названия больших чисел того времени, несколько отличающиеся от сегодняшних: септильон (10^42), октальон (10^48), нональон (10^54), декальон (10^60), эндекальон (10^66), додекальон (10^72) и написано, что «далее названий не имеется».

Способы построения названий больших чисел

Существует 2 основных способа названий больших чисел:

• Американская система , которая используется в США, России, Франции, Канаде, Италии, Турции, Греции, Бразилии. Названия больших чисел строятся довольно просто: вначале идет латинское порядковое числительное, а к нему в конце добавляется суффикс “-иллион”. Исключениям является число “миллион”, которое является названием числа тысяча (mille) и увеличительного суффикса “-иллион”. Количество нулей в числе, которое записано по американской системе, можно узнать по формуле: 3х+3, где х – латинское порядковое числительное
• Английская система наиболее распространена в мире, ее используются в Германии, Испании, Венгрии, Польше, Чехии, Дании, Швеции, Финляндии, Португалии. Названия чисел по данной системе строятся следующим образом: к латинскому числительному добавляется суффикс “-иллион”, следующее число (в 1000 раз большее) – то же самое латинское числительное, но добавляется суффикс “-иллиард”. Количество нулей в числе, которое записано по английской системе и заканчивается суффиксом “-иллион”, можно узнать по формуле: 6х+3, где х – латинское порядковое числительное. Количество нулей в числах, оканчивающихся суффиксом “-иллиард”, можно узнать по формуле: 6х+6, где х – латинское порядковое числительное.

Из английской системы в русский язык перешло только слово миллиард, которое все же правильнее называть так, как его называют американцы – биллион (поскольку в русском языке используется американская система наименования чисел).

Кроме чисел, которые записаны по американской или английской системе с помощью латинских префиксов, известны внесистемные числа, имеющие собственные названия без латинских префиксов.

Собственные названия больших чисел

• Вигинтиллион (от лат. viginti – двадцать) — 10 63
• Центиллион (от лат. centum – сто) — 10 303
• Миллеиллион (от лат. mille – тысяча) — 10 3003

Для чисел больше тысячи у римлян собственных названий не было (все названия чисел далее были составными).

Составные названия больших чисел

Кроме собственных названий, для чисел больше 10 33 можно получить составные названия с помощью объединения приставок.

Составные названия больших чисел

• 10 123 — квадрагинтиллион
• 10 153 — квинквагинтиллион
• 10 183 — сексагинтиллион
• 10 213 — септуагинтиллион
• 10 243 — октогинтиллион
• 10 273 — нонагинтиллион
• 10 303 — центиллион

Дальнейшие названия можно получить прямым или обратным порядком латинских числительных (как правильно, не известно):

• 10 306 — анцентиллион или центуниллион
• 10 309 — дуоцентиллион или центдуоллион
• 10 312 — трецентиллион или центтриллион
• 10 315 — кватторцентиллион или центквадриллион
• 10 402 — третригинтацентиллион или центтретригинтиллион

Второй вариант написания больше соответствует построению числительных в латинском языке и позволяет избежать двусмысленностей (например, в числе трецентиллион, которое по первому написанию является и 10 903 и 10 312).

• 10 603 — дуцентиллион
• 10 903 — трецентиллион
• 10 1203 — квадрингентиллион
• 10 1503 — квингентиллион
• 10 1803 — сесцентиллион
• 10 2103 — септингентиллион
• 10 2403 — октингентиллион
• 10 2703 — нонгентиллион
• 10 3003 — миллеиллион
• 10 6003 — дуомилиаллион
• 10 9003 — тремиллиаллион
• 10 15003 — квинквемилиаллион
• 10 308760 — дуцентдуомилианонгентновемдециллион
• 10 3000003 — милиамилиаиллион
• 10 6000003 — дуомилиамилиаиллион

Мириада – 10 000. Название устаревшее и практически не используется. Однако широко используется слово “мириады”, которое означает не определенное число, а бесчисленное, несчетное множество чего-либо.

Гугол (англ. googol ) — 10 100 . О данном числе впервые написал американский математик Эдвард Каснер (Edward Kasner) в 1938 году в журнале Scripta Mathematica в статье “New Names in Mathematics”. По его словам, назвать так число предложил его 9-летний племянник Милтон Сиротта (Milton Sirotta). Данное число стало общеизвестным благодаря поисковой машине Google, названной в честь него.

Асанкхейя (от кит. асэнци – неисчислимый) — 10 1 4 0 . Данное число встречается в известном буддийском трактате Джайна-сутры (100 г. до н.э.). Считается, что данному числу равно количество космических циклов, необходимых для обретения нирваны.

Гуголплекс (англ. Googolplex ) — 10^10^100. Данное число тоже придумал Эдвард Каснер со своим племянником, означает оно единицу с гуголом нулей.

Число Скьюза (Skewes’ number, Sk 1) означает e в степени e в степени e в степени 79, то есть e^e^e^79. Данное число было предложено Скьюзом в 1933 году (Skewes. J. London Math. Soc. 8, 277-283, 1933.) при доказательстве гипотезы Риманна, касающейся простых чисел. Позднее, Риел (te Riele, H. J. J. «On the Sign of the Difference П(x)-Li(x).» Math. Comput. 48, 323-328, 1987) свел число Скьюза к e^e^27/4, что приблизительно равно 8,185·10^370. Однако это число не целое, поэтому в таблицу больших чисел не включено.

Второе число Скьюза (Sk2) равно 10^10^10^10^3, то есть 10^10^10^1000. Данное число было введено Дж. Скьюзом в той же статье для обозначения числа, до которого гипотеза Риманна справедлива.

Для сверхбольших чисел пользоваться степенями неудобно, поэтому существует несколько способов для записи чисел – нотации Кнута, Конвея, Стейнхауза и др.

Хьюго Стейнхауз предложил записывать большие числа внутри геометрических фигур (треугольника, квадрата и круга).

Математик Лео Мозер доработал нотацию Стейнхауза, предложив после квадратов рисовать не круги, а пятиугольники, затем шестиугольники и т.д. Мозер также предложил формальную запись для этих многоугольников, чтобы числа можно было записывать, не рисуя сложные рисунки.

Стейнхауз придумал два новых сверхбольших числа: Мега и Мегистон. В нотации Мозера они записываются так: Мега – 2, Мегистон – 10. Лео Мозер предложил также называть многоугольник с числом сторон, равным меге – мегагоном , а также предложил число “2 в Мегагоне” – 2. Последнее число известно как число Мозера (Moser’s number) или просто как Мозер .

Существуют числа, больше Мозера. Самым большим числом, которое использовалось в математическом доказательстве, является число Грэма (Graham’s number). Оно впервые было использовано в 1977 года в доказательстве одной оценки в теории Рамсея. Данное число связано с бихроматическими гиперкубами и не может быть выражено без особой 64-уровневой системы специальных математических символов, введённых Кнутом в 1976 году. Дональд Кнут (который написал «Искусство программирования» и создал редактор TeX) придумал понятие сверхстепень, которое предложил записывать стрелками, направленными вверх:

В общем виде

Грэм предложил G-числа:

Число G 63 называется числом Грэма, часто обозначается просто G. Данное число является самым большим известным числом в мире и занесено в “Книгу рекордов Гиннеса”.

В детстве меня мучил вопрос, какое существует самое большое число, и я изводил этим дурацким вопросом практически всех подряд. Узнав число миллион, я спрашивал, а есть ли число больше миллиона. Миллиард? А больше миллиарда? Триллион? А больше триллиона? Наконец, нашёлся кто-то умный, кто мне объяснил, что вопрос глуп, так как достаточно всего лишь прибавить к самому большому числу единицу, и окажется, что оно никогда не было самым большим, так как существуют число ещё больше.

И вот, спустя много лет, я решил задаться другим вопросом, а именно: какое существует самое большое число, которое имеет собственное название? Благо, сейчас есть инет и озадачить им можно терпеливые поисковые машины, которые не будут называть мои вопросы идиотскими;-). Собственно, это я и сделал, и вот, что в результате выяснил.

Существуют две системы наименования чисел - американская и английская.

Американская система постороена довольно просто. Все названия больших чисел строятся так: в начале идет латинское порядковое числительное, а в конце к ней добавляется суффикс -иллион. Исключение составляет название "миллион" которое является названием числа тысяча (лат. mille ) и увеличительного суффикса -иллион (см. таблицу). Так получаются числа - триллион, квадриллион, квинтиллион, секстиллион, септиллион, октиллион, нониллион и дециллион. Американская система используется в США, Канаде, Франции и России. Узнать количество нулей в числе, записанном по американской системе, можно по простой формуле 3·x+3 (где x - латинское числительное).

Английская система наименования наиболее распространена в мире. Ей пользуются, например, в Великобритании и Испании, а также в большинстве бывших английских и испанских колоний. Названия чисел в этой системе строятся так: так: к латинскому числительному добавляют суффикс -иллион, следущее число (в 1000 раз большее) строится по принципу - то же самое латинское числительное, но суффикс - -иллиард. То есть после триллиона в английской системе идёт триллиард, а только затем квадриллион, за которым следует квадриллиард и т.д. Таким образом, квадриллион по английской и американской системам - это совсем разные числа! Узнать количество нулей в числе, записанном по английской системе и оканчивающегося суффиксом -иллион, можно по формуле 6·x+3 (где x - латинское числительное) и по формуле 6·x+6 для чисел, оканчивающихся на -иллиард.

Из английской системы в русский язык перешло только число миллиард (10 9), которое всё же было бы правильнее называть так, как его называют американцы - биллионом, так как у нас принята именно американская система. Но кто у нас в стране что-то делает по правилам! ;-) Кстати, иногда в русском языке употребляют и слово триллиард (можете сами в этом убедиться, запустив поиск в Гугле или Яндексе) и означает оно, судя по всему, 1000 триллионов, т.е. квадриллион.

Кроме чисел, записанных при помощи латинских префиксов по американской или англйской системе, известны и так называемые внесистемные числа, т.е. числа, которые имеют свои собственные названия безо всяких латинских префиксов. Таких чисел существует несколько, но подробнее о них я расскажу чуть позже.

Вернемся к записи при помощи латинских числительных. Казалось бы, что ими можно записывать числа до бессконечности, но это не совсем так. Сейчас объясню почему. Посмотрим для начала как называются числа от 1 до 10 33:

И вот, теперь возникает вопрос, а что дальше. Что там за дециллионом? В принципе, можно, конечно же, при помощи объединения приставок породить такие монстры, как: андецилион, дуодециллион, тредециллион, кваттордециллион, квиндециллион, сексдециллион, септемдециллион, октодециллион и новемдециллион, но это уже будут составные названия, а нам были интересны именно собственные названия чисел. Поэтому собственных имён по этой системе, помимо указанных выше, ещё можно получить лишь всего три - вигинтиллион (от лат. viginti - двадцать), центиллион (от лат. centum - сто) и миллеиллион (от лат. mille - тысяча). Больше тысячи собственных названий для чисел у римлян не имелось (все числа больше тысячи у них были составными). Например, миллион (1 000 000) римляне называли decies centena milia , то есть "десять сотен тысяч". А теперь, собственно, таблица:

Таким образом, по подобной системе числа больше, чем 10 3003 , у которого было бы собственное, несоставное название получить невозможно! Но тем не менее числа больше миллеиллиона известны - это те самые внесистемные числа. Расскажем, наконец-то, о них.

Самое маленькое такое число - это мириада (оно есть даже в словаре Даля), которое означает сотню сотен, то есть - 10 000. Слово это, правда, устарело и практически не используется, но любопытно, что широко используется слово "мириады", которое означает вовсе не определённое число, а бесчисленное, несчётное множество чего-либо. Считается, что слово мириада (англ. myriad) пришло в европейские языки из древнего Египта.

Гугол (от англ. googol) - это число десять в сотой степени, то есть единица со ста нулями. О "гуголе" впервые написал в 1938 году в статье "New Names in Mathematics" в январском номере журнала Scripta Mathematica американский математик Эдвард Каснер (Edward Kasner). По его словам, назвать "гуголом" большое число предложил его девятилетний племянник Милтон Сиротта (Milton Sirotta). Общеизвестным же это число стало благодаря, названной в честь него, поисковой машине Google . Обратите внимание, что "Google" - это торговая марка, а googol - число.

В известном буддийском трактате Джайна-сутры, относящегося к 100 г. до н.э., встречается число асанкхейя (от кит. асэнци - неисчислимый), равное 10 140 . Считается, что этому числу равно количество космических циклов, необходимых для обретения нирваны.

Гуголплекс (англ. googolplex ) - число также придуманное Каснером со своим племянником и означающее единицу с гуголом нулей, то есть 10 10 100 . Вот как сам Каснер описывает это "открытие":

Words of wisdom are spoken by children at least as often as by scientists. The name "googol" was invented by a child (Dr. Kasner"s nine-year-old nephew) who was asked to think up a name for a very big number, namely, 1 with a hundred zeros after it. He was very certain that this number was not infinite, and therefore equally certain that it had to have a name. At the same time that he suggested "googol" he gave a name for a still larger number: "Googolplex." A googolplex is much larger than a googol, but is still finite, as the inventor of the name was quick to point out.

Mathematics and the Imagination (1940) by Kasner and James R. Newman.

Еще большее, чем гуголплекс число - число Скьюза (Skewes" number) было предложено Скьюзом в 1933 году (Skewes. J. London Math. Soc. 8 , 277-283, 1933.) при доказательстве гипотезы Риманна , касающейся простых чисел. Оно означает e в степени e в степени e в степени 79, то есть e e e 79 . Позднее, Риел (te Riele, H. J. J. "On the Sign of the Difference П (x)-Li(x)." Math. Comput. 48 , 323-328, 1987) свел число Скьюза к e e 27/4 , что приблизительно равно 8,185·10 370 . Понятное дело, что раз значение числа Скьюза зависит от числа e , то оно не целое, поэтому рассматривать мы его не будем, иначе пришлось бы вспомнить другие ненатуральные числа - число пи, число e, число Авогадро и т.п.

Но надо заметить, что существует второе число Скьюза, которое в математике обозначается как Sk 2 , которое ещё больше, чем первое число Скьюза (Sk 1). Второе число Скьюза , было введённо Дж. Скьюзом в той же статье для обозначения числа, до которого гипотеза Риманна справедлива. Sk 2 равно 10 10 10 10 3 , то есть 10 10 10 1000 .

Как вы понимаете чем больше в числе степеней, тем сложнее понять какое из чисел больше. Например, посмотрев на числа Скьюза, без специальных вычислений практически невозможно понять, какое из этих двух чисел больше. Таким образом, для сверхбольших чисел пользоваться степенями становится неудобно. Мало того, можно придумать такие числа (и они уже придуманы), когда степени степеней просто не влезают на страницу. Да, что на страницу! Они не влезут, даже в книгу, размером со всю Вселенную! В таком случае встаёт вопрос как же их записывать. Проблема, как вы понимаете разрешима, и математики разработали несколько принципов для записи таких чисел. Правда, каждый математик, кто задавался этой проблемой придумывал свой способ записи, что привело к существованию нескольких, не связанных друг с другом, способов для записи чисел - это нотации Кнута, Конвея, Стейнхауза и др.

Рассмотрим нотацию Хьюго Стенхауза (H. Steinhaus. Mathematical Snapshots , 3rd edn. 1983), которая довольно проста. Стейн хауз предложил записывать большие числа внутри геометрических фигур - треугольника, квадрата и круга:

Стейнхауз придумал два новых сверхбольших числа. Он назвал число - Мега , а число - Мегистон.

Математик Лео Мозер доработал нотацию Стенхауза, которая была ограничена тем, что если требовалаось записывать числа много больше мегистона, возникали трудности и неудобства, так как приходилось рисовать множество кругов один внутри другого. Мозер предложил после квадратов рисовать не круги, а пятиугольники, затем шестиугольники и так далее. Также он предложил формальную запись для этих многоугольников, чтобы можно было записывать числа, не рисуя сложных рисунков. Нотация Мозера выглядит так:

Таким образом, по нотации Мозера стейнхаузовский мега записывается как 2, а мегистон как 10. Кроме того, Лео Мозер предложил называть многоугольник с числом сторон равным меге - мегагоном. И предложил число "2 в Мегагоне", то есть 2. Это число стало известным как число Мозера (Moser"s number) или просто как мозер .

Но и мозер не самое большое число. Самым большим числом, когда-либо применявшимся в математическом доказательстве, является предельная величина, известная как число Грэма (Graham"s number), впервые использованная в 1977 года в доказательстве одной оценки в теории Рамсея. Оно связано с бихроматическими гиперкубами и не может быть выражено без особой 64-уровневой системы специальных математических символов, введённых Кнутом в 1976 году.

К сожалению, число записанное в нотации Кнута нельзя перевести в запись по системе Мозера. Поэтому придётся объяснить и эту систему. В принципе в ней тоже нет ничего сложного. Дональд Кнут (да, да, это тот самый Кнут, который написал "Искусство программирования" и создал редактор TeX) придумал понятие сверхстепень, которое предложил записывать стрелками, направленными вверх:

В общем виде это выглядит так:

Думаю, что всё понятно, поэтому вернёмся к числу Грэма. Грэм предложил, так называемые G-числа:

Число G 63 стало называться числом Грэма (обозначается оно часто просто как G). Это число является самым большим известным в мире числом и занесёно даже в "Книгу рекордов Гинесса". А, вот , что число Грэма больше числа Мозера.

P.S. Чтобы принести великую пользу всему человечеству и прославиться в веках, я решил сам придумать и назвать самое большое число. Это число будет называться стасплекс и оно равно числу G 100 . Запомните его, и когда ваши дети будут спрашивать какое самое большое в мире число, говорите им, что это число называется стасплекс .

Update (4.09.2003): Спасибо всем за комментарии. Оказалось, что при написании текста я допустил несколько ошибок. Попробую сейчас исправить.

1. Я сделал сразу несколько ошибок, просто упомянув число Авогадро. Во-первых, несколько человек указали мне, что на самом деле 6,022·10 23 - самое, что ни на есть натуральное число. А во-вторых, есть мнение и оно мне кажется верным, что число Авогадро вообще не является числом в собственном, математическом смысле слова, так как оно зависит от системы единиц. Сейчас оно выражается в "моль -1 ", но если его выразить, к примеру в молях или ещё в чём-нибудь, то оно будет выражаться совсем другой цифрой, но числом Авогадро от этого быть совсем не перестанет.
2. 10 000 - тьма
   100 000 - легион
   1 000 000 - леодр
   10 000 000 - ворон или вран
   100 000 000 - колода
   Что интересно, древние славяне тоже любили большие числа умели считать до миллиарда. Причём такой счёт назывался у них "малый счёт". В некоторых же рукописях авторами рассматривался и "великий счёт", доходивший до числа 10 50 . Про числа больше, чем 10 50 говорилось: "И более сего несть человеческому уму разумети". Названия употреблявшиеся в "малом счёте", переносились на "великий счет", но с другим смыслом. Так, тьма означала уже не 10 000, а миллион, легион - тьму тем (миллион миллионов); леодр - легион легионов (10 в 24 степени), дальше говорилось - десять леодров, сто леодров, ... , и, наконец, сто тысяч тем легион леодров (10 в 47); леодр леодров (10 в 48) назывался ворон и, наконец, колода (10 в 49).
3. Тему национальных названий чисел можно расширить, если вспомнить и про забытую мной японскую систему наименования чисел, которая сильно отличается от английской и американской системы (иероглифы я рисовать не буду, если кому-то интересно, то они ):
   10 0 - ichi
   10 1 - jyuu
   10 2 - hyaku
   10 3 - sen
   10 4 - man
   10 8 - oku
   10 12 - chou
   10 16 - kei
   10 20 - gai
   10 24 - jyo
   10 28 - jyou
   10 32 - kou
   10 36 - kan
   10 40 - sei
   10 44 - sai
   10 48 - goku
   10 52 - gougasya
   10 56 - asougi
   10 60 - nayuta
   10 64 - fukashigi
   10 68 - muryoutaisuu
4. По поводу чисел Хьюго Стейнхауза (в России его имя переводили почему-то как Гуго Штейнгауз). botev уверяет, что идея записывать сверхбольшие числа в виде чисел в кружочках, принадлежит не Стейнхаузу, а Даниилу Хармсу, который задолого до него опубликовал эту идею в статье "Поднятие числа". Также хочу поблагодарить Евгения Скляревского, автора самого интересного сайта по занимательной математике в русскоязычном интернете - Арбуза , за информацию, что Стейнхауз придумал не только числа мега и мегистон, но и предложил ещё число медзон , равное (в его нотации) "3 в кружочке".
5. Теперь о числе мириада или мириои. Насчёт происхождения этого числа существуют разные мнения. Одни считают, что оно возникло в Египте, другие же полагают, что оно родилось лишь в Античной Греции. Как бы то ни было на самом деле, но известность мириада получила именно благодаря грекам. Мириада являлось названием для 10 000, а для чисел больше десяти тысяч названий не было. Однако в заметке "Псаммит" (т.е. исчисление песка) Архимед показал, как можно систематически строить и называть сколь угодно большие числа. В частности, размещая в маковом зерне 10 000 (мириада) песчинок, он находит, что во Вселенной (шар диаметром в мириаду диаметров Земли) поместилось бы (в наших обозначениях) не более чем 10 63 песчинок. Любопытно, что современные подсчеты количества атомов в видимой Вселенной приводят к числу 10 67 (всего в мириаду раз больше). Названия чисел Архимед предложил такие:
   1 мириада = 10 4 .
   1 ди-мириада = мириада мириад = 10 8 .
   1 три-мириада = ди-мириада ди-мириад = 10 16 .
   1 тетра-мириада = три-мириада три-мириад = 10 32 .
   и т.д.

Если есть замечания -

Когда-то в детстве, мы учились считать до десяти, потом до ста, потом до тысячи. Так какое самое большое число вы знаете? Тысяча, миллион, миллиард, триллион... А дальше? Петаллион, скажет кто-то, и будет не прав, ибо путает приставку СИ, с совсем другим понятием.

На самом деле вопрос не так прост, как кажется на первый взгляд. Во-первых мы говорим об именовании названий степеней тысячи. И тут, первый нюанс, который многие знают по американским фильмам - наш миллиард они называют биллионом.

Дальше больше, существует два вида шкал - длинная и короткая. В нашей стране используется короткая шкала. В этой шкале на каждом шаге мантиса увеличивается на три порядка, т.е. умножаем на тысячу - тысяча 10 3 , миллион 10 6 , миллиард/биллион 10 9 , триллион (10 12). В длинной шкале после миллиарда 10 9 идет биллион 10 12 , а в дальнейшем мантиса уже увеличивается на шесть порядков, и следующее число, которое называется триллион, уже обозначает 10 18 .

Но вернемся к нашей родной шкале. Хотите знать, что идет после триллиона? Пожалуста:

10 3 тысяча
10 6 миллион
10 9 миллиард
10 12 триллион
10 15 квадриллион
10 18 квинтиллион
10 21 секстиллион
10 24 септиллион
10 27 октиллион
10 30 нониллион
10 33 дециллион
10 36 ундециллион
10 39 додециллион
10 42 тредециллион
10 45 кваттуордециллион
10 48 квиндециллион
10 51 cедециллион
10 54 септдециллион
10 57 дуодевигинтиллион
10 60 ундевигинтиллион
10 63 вигинтиллион
10 66 анвигинтиллион
10 69 дуовигинтиллион
10 72 тревигинтиллион
10 75 кватторвигинтиллион
10 78 квинвигинтиллион
10 81 сексвигинтиллион
10 84 септемвигинтиллион
10 87 октовигинтиллион
10 90 новемвигинтиллион
10 93 тригинтиллион
10 96 антригинтиллион

На этом числе наша короткая шкала не выдерживает, и в дальшейшем мантиса увеличивается прогрессивно.

10 100 гугол
10 123 квадрагинтиллион
10 153 квинквагинтиллион
10 183 сексагинтиллион
10 213 септуагинтиллион
10 243 октогинтиллион
10 273 нонагинтиллион
10 303 центиллион
10 306 центуниллион
10 309 центдуоллион
10 312 центтриллион
10 315 центквадриллион
10 402 центтретригинтиллион
10 603 дуцентиллион
10 903 трецентиллион
10 1203 квадрингентиллион
10 1503 квингентиллион
10 1803 сесцентиллион
10 2103 септингентиллион
10 2403 окстингентиллион
10 2703 нонгентиллион
10 3003 миллиллион
10 6003 дуомилиаллион
10 9003 тремиллиаллион
10 3000003 милиамилиаиллион
10 6000003 дуомилиамилиаиллион
10 10 100 гуголплекс
10 3×n+3 зиллион

Гугол (от англ. googol) - число, в десятичной системе счисления изображаемое единицей со 100 нулями:
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
1938 году американский математик Эдвард Каснер (Edward Kasner, 1878-1955) гулял по парку с двумя своими племянниками и обсуждал с ними большие числа. В ходе разговора зашла речь о числе со ста нулями, у которого не было собственного названия. Один из племянников, девятилетний Милтон Сиротта (Milton Sirotta), предложил назвать это число «гуголом» (googol). В 1940 году Эдвард Кэснер совместно с Джеймсом Ньюманом написал научно-популярную книгу «Математика и воображение» («New Names in Mathematics»), где и рассказал любителям математики о числе гугол.
Термин «гугол» не имеет серьёзного теоретического и практического значения. Каснер предложил его для того, чтобы проиллюстрировать разницу между невообразимо большим числом и бесконечностью, и с этой целью термин иногда используется при обучении математике.

Гуголплекс (от англ. googolplex) - число, изображаемое единицей с гуголом нулей. Как и гугол, термин «гуголплекс» был придуман американским математиком Эдвардом Каснером (Edward Kasner) и его племянником Милтоном Сироттой (Milton Sirotta).
Число гугол больше числа всех частиц в известной нам части вселенной, которое составляет величину от 1079 до 1081. Таким образом, число гуголплекс, состоящее из (гугол+1) цифр, в классическом «десятичном» виде записать невозможно, даже если всю материю в известной части вселенной превратить в бумагу и чернила или в компьютерное дисковое пространство.

Зиллион (англ. zillion) - общее название для очень больших чисел.

Этот термин не имеет строгого математического определения. В 1996 году Конвей (англ. J. H. Conway) и Гай (англ. R. K. Guy) в своей книге англ. The Book of Numbers определили зиллион n-ой степени как 10 3×n+3 для системы наименования чисел с короткой шкалой.