ოძის უტოლობების ამოხსნა. ოძ. მისაღები ღირებულებების სფერო. თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე
სხვადასხვა პრობლემის გადაჭრისას ძალიან ხშირად გვიწევს გამონათქვამების იდენტური ტრანსფორმაციების განხორციელება. მაგრამ ხდება ისე, რომ გარკვეული სახის ტრანსფორმაცია ზოგ შემთხვევაში მისაღებია, ზოგში კი არა. მნიშვნელოვან დახმარებას უწევს ODZ-ს მიმდინარე ტრანსფორმაციების დასაშვებობის მონიტორინგის კუთხით. მოდით შევხედოთ ამას უფრო დეტალურად.
მიდგომის არსი ასეთია: თავდაპირველი გამოსახულებისთვის ცვლადების ODZ შედარებულია იდენტური გარდაქმნების შედეგად მიღებული გამოსახულებისთვის ცვლადების ODZ-თან და შედარების შედეგების საფუძველზე კეთდება შესაბამისი დასკვნები.
ზოგადად, იდენტობის გარდაქმნები შეიძლება
- არ მოახდინოთ გავლენა DL-ზე;
- გამოიწვიოს ODZ-ის გაფართოება;
- გამოიწვიოს ODZ-ის შევიწროება.
მოდით, თითოეული შემთხვევა მაგალითით ავხსნათ.
განვიხილოთ გამოხატულება x 2 +x+3·x, x ცვლადის ODZ ამ გამოსახულებისთვის არის R სიმრავლე. ახლა გავაკეთოთ შემდეგი იდენტური ტრანსფორმაცია ამ გამოსახულებით - წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს, შედეგად ის მიიღებს x 2 +4·x ფორმას. ცხადია, ამ გამოხატვის x ცვლადი ასევე არის R სიმრავლე. ამრიგად, განხორციელებულმა ტრანსფორმაციამ არ შეცვალა DZ.
მოდით გადავიდეთ. ავიღოთ გამოხატულება x+3/x−3/x. ამ შემთხვევაში, ODZ განისაზღვრება x≠0 პირობით, რომელიც შეესაბამება სიმრავლეს (−∞, 0)∪(0, +∞) . ეს გამოთქმა ასევე შეიცავს მსგავს ტერმინებს, რომელთა შემცირების შემდეგ მივდივართ გამოხატულ x-მდე, რომლისთვისაც ODZ არის R. რას ვხედავთ: ტრანსფორმაციის შედეგად, ODZ გაფართოვდა (რიცხვი ნული დაემატა ODZ ცვლადის x-ს თავდაპირველი გამოსახულებისთვის).
რჩება განიხილოს ტრანსფორმაციების შემდეგ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის შევიწროების მაგალითი. ავიღოთ გამოთქმა 
. x ცვლადის ODZ განისაზღვრება უტოლობით (x−1)·(x−3)≥0, მისი ამოხსნისთვის ის შესაფერისია, მაგალითად, შედეგად გვაქვს (−∞, 1]∪∪; რედაქტირებულია. S. A. Telyakovsky - 17- ed. - M.: განათლება, 2008. - 240 გვ.: ავადმყოფი - ISBN 978-5-09-019315-3.
თუ განტოლების ODZ შედგება მნიშვნელობების სასრული რაოდენობისგან, საკმარისია თითოეული მნიშვნელობის ჩანაცვლება განტოლებაში, რათა შეამოწმოთ არის თუ არა ეს მნიშვნელობა ფესვი.
განტოლებების ამოხსნისთვის სასრულის გამოყენების მაგალითები.
ლუწი ფესვის ნიშანს უნდა ჰქონდეს არაუარყოფითი რიცხვი, ასე რომ
პირველი უტოლობა არის კვადრატული, მოდი მოვაგვაროთ. მეორე - .
სისტემის გამოსავალი არის ორივე უტოლობის ამონახსნების გადაკვეთა:
ODZ შედგება ერთი მნიშვნელობისგან: (3).
რჩება იმის შემოწმება, არის თუ არა 3 განტოლების ფესვი:
მივიღეთ სწორი ტოლობა, ამიტომ x=3 არის ამ განტოლების ფესვი.
კვადრატული ფესვის ნიშანს უნდა ჰქონდეს არაუარყოფითი რიცხვი. აქედან გამომდინარე, ODZ
პირველი ორი უტოლობა კვადრატულია. ჩვენ მათ ვხსნით ინტერვალის მეთოდით. მესამე არის ხაზოვანი. ჩვენ აღვნიშნავთ თითოეული უტოლობის ამოხსნას რიცხვით წრფეზე და ვპოულობთ ამონახსნების კვეთას:
ODZ შედგება ორი მნიშვნელობისაგან: (2; 3).
შევამოწმოთ.
ამრიგად, ამ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი x=3.
დასაშვები რკალის მნიშვნელობების დიაპაზონი არის დახურული ინტერვალი -1-დან 1-მდე. არამთლიანი დადებითი მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის საფუძველი უნდა იყოს არაუარყოფითი რიცხვი. ODZ:
ამრიგად, განტოლების მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი შედგება ერთი მნიშვნელობისგან: (1). რჩება იმის შემოწმება, არის თუ არა x=1 ამ განტოლების ფესვი.
პასუხი: 1.
თუ განტოლების ODZ შედგება ერთი ან მეტი რიცხვისგან, ეს მეთოდი დაგეხმარებათ მარტივად და სწრაფად გაუმკლავდეთ ამოცანას.
ფუნქციების თვისებებზე დაფუძნებული განტოლებების ამოხსნის სხვა მეთოდების მსგავსად, სასრული რაოდენობის მნიშვნელობების გამოყენება ხშირად საშუალებას აძლევს ადამიანს გადაჭრას საკმაოდ რთული არასტანდარტული ამოცანები. და მიუხედავად იმისა, რომ ის ხშირად არ ჩანს სკოლის ალგებრის კურსში, სასარგებლოა მისი დამახსოვრება და მისი გამოყენება.
კატეგორია: |სამეცნიერო მრჩეველი:
1. შესავალი 3
2. ისტორიული ჩანახატი 4
3. ODZ-ის „ადგილი“ განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას 5-6.
4. ODZ 7-ის მახასიათებლები და საფრთხეები
5. ODZ – არსებობს ხსნარი 8-9
6. ODZ-ის პოვნა დამატებითი სამუშაოა.
გადასვლების ეკვივალენტობა 10-13
7. ODZ ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში 14-15
8. დასკვნა 16
9. ლიტერატურა 17
1. შესავალი
განტოლებებმა და უტოლობებმა, რომლებშიც საჭიროა მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის პოვნა, არ იპოვეს ადგილი სისტემატური პრეზენტაციის ალგებრის კურსში, რის გამოც ჩემი თანატოლები ხშირად უშვებენ შეცდომებს ასეთი მაგალითების ამოხსნისას, დიდ დროს უთმობენ ამოხსნას. მათ, ხოლო დაივიწყებს მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონს. ამან დაადგინა პრობლემაამ ნაწარმოების.
ამ ნაშრომში მიზნად ისახავს გამოიკვლიოს მისაღები მნიშვნელობების რეგიონის არსებობის ფენომენი სხვადასხვა ტიპის განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას; გაანალიზეთ ეს სიტუაცია, გამოიტანეთ ლოგიკურად სწორი დასკვნები მაგალითებში, სადაც უნდა გაითვალისწინოთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი.
Დავალებები:
- არსებული გამოცდილებისა და თეორიული საფუძვლების საფუძველზე შეაგროვეთ ძირითადი ინფორმაცია დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონისა და მისი გამოყენების შესახებ სასკოლო პრაქტიკაში; სხვადასხვა ტიპის განტოლებებისა და უტოლობების ამონახსნების ანალიზი (ფრაქციულ-რაციონალური, ირაციონალური, ლოგარითმული, შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი); შეამოწმეთ ადრე მიღებული შედეგები სხვადასხვა განტოლებისა და უტოლობების ამოხსნისას, დარწმუნდით მათი ამოხსნის მეთოდებისა და მეთოდების სანდოობაში; განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის „ადგილის“ განსაზღვრა; გამოიყენეთ მიღებული კვლევის მასალები სტანდარტულისაგან განსხვავებულ სიტუაციაში და გამოიყენეთ ისინი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მოსამზადებლად.
ამ პრობლემების გადაჭრისას გამოყენებული იქნა შემდეგი კვლევის მეთოდები: ანალიზი, სტატისტიკური ანალიზი, გამოქვითვა, კლასიფიკაცია, პროგნოზირება.
სწავლა დაიწყო სასკოლო სასწავლო გეგმაში შესწავლილი ცნობილი ფუნქციების გამეორებით. ბევრი მათგანის ფარგლები შეზღუდულია.
მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი ჩნდება ამოხსნისას: წილადი რაციონალური განტოლებები და უტოლობები; ირაციონალური განტოლებები და უტოლობები; ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობები; შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი განტოლებები და უტოლობა.
მრავალი მაგალითის ამოხსნის შემდეგ სხვადასხვა წყაროდან (გამოიყენეთ სახელმძღვანელოები, სახელმძღვანელოები, საცნობარო წიგნები), ჩვენ გამოვყავით მაგალითების ამოხსნა შემდეგი პრინციპების მიხედვით:
· შეგიძლიათ ამოხსნათ მაგალითი და გაითვალისწინოთ ODZ (ყველაზე გავრცელებული მეთოდი)
· შესაძლებელია მაგალითის ამოხსნა ODZ-ის გათვალისწინების გარეშე
· სწორი გადაწყვეტილების მიღება შესაძლებელია მხოლოდ ODZ-ის გათვალისწინებით.
შესწავლილია გასული წლების ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის შედეგების ანალიზი. ბევრი შეცდომა დაუშვა მაგალითებში, რომლებშიც აუცილებელია DL-ის გათვალისწინება. პრაქტიკული მნიშვნელობანაშრომი მდგომარეობს იმაში, რომ მისი შინაარსი, შეფასებები და დასკვნები შეიძლება გამოყენებულ იქნას სკოლაში მათემატიკის სწავლებისას, მე-9 და მე-11 კლასების მოსწავლეების საბოლოო სერტიფიცირების მომზადებისთვის.
2. ისტორიული ჩანახატი
მათემატიკის სხვა ცნებების მსგავსად, ფუნქციის ცნება მაშინვე არ განვითარდა, მაგრამ განვითარების გრძელი გზა გაიარა. პ.ფერმას ნაშრომში „სიბრტყისა და მყარი ადგილების შესავალი და შესწავლა“ (1636, გამოქვეყნებულია 1679 წ.) ნათქვამია: „როდესაც საბოლოო განტოლებაში ორი უცნობი სიდიდეა, არის ადგილი“. არსებითად, აქ საუბარია ფუნქციურ დამოკიდებულებაზე და მის გრაფიკულ წარმოდგენაზე (ფერმატში „ადგილი“ ნიშნავს ხაზს). ხაზების შესწავლა მათი განტოლებების მიხედვით რ.დეკარტის „გეომეტრიაში“ (1637 წ.) ასევე მიუთითებს ორი ცვლადის ურთიერთდამოკიდებულების მკაფიო გაგებაზე. I. Barrow (ლექციები გეომეტრიის შესახებ, 1670) გეომეტრიული ფორმით ადგენს დიფერენცირებისა და ინტეგრაციის მოქმედებების ურთიერთშებრუნებულ ხასიათს (რა თქმა უნდა, თავად ამ ტერმინების გამოყენების გარეშე). ეს უკვე მიუთითებს ფუნქციის კონცეფციის სრულიად მკაფიო დაუფლებაზე. ამ ცნებას გეომეტრიული და მექანიკური სახით ვხვდებით ი.ნიუტონშიც. თუმცა, ტერმინი „ფუნქცია“ პირველად მხოლოდ 1692 წელს გამოჩნდა გ.ლაიბნიცთან და, უფრო მეტიც, არც ისე მთლად მისი თანამედროვე გაგებით. გ.ლაიბნიცი მრუდთან დაკავშირებულ სხვადასხვა სეგმენტებს (მაგალითად, მისი წერტილების აბსცისა) ფუნქციას უწოდებს. L'Hopital-ის (1696 წ.) პირველ ბეჭდურ კურსში „უსასრულო მცირე ზომის ანალიზი მრუდი ხაზების ცოდნისთვის“ ტერმინი „ფუნქცია“ არ არის გამოყენებული.
ფუნქციის პირველი განმარტება თანამედროვესთან მიახლოებული მნიშვნელობით გვხვდება I. Bernoulli-ში (1718): „ფუნქცია არის სიდიდე, რომელიც შედგება ცვლადისა და მუდმივისაგან“. ეს არც თუ ისე მკაფიო განმარტება ემყარება ფუნქციის ანალიტიკური ფორმულით განსაზღვრის იდეას. იგივე აზრი ჩნდება ლ. ეილერის განმარტებაში, რომელიც მის მიერ იქნა მოწოდებული „Introduction to the Analysis of Infinites“ (1748): „ცვლადი სიდიდის ფუნქცია არის ანალიტიკური გამოხატულება, რომელიც შედგენილია გარკვეულწილად ამ ცვლადი სიდიდისა და რიცხვებისგან ან. მუდმივი რაოდენობით.” თუმცა, ლ.ეილერს უკვე უცხო არ აქვს ფუნქციის თანამედროვე გაგება, რომელიც არ აკავშირებს ფუნქციის ცნებას მის არცერთ ანალიტიკურ გამონათქვამთან. მისი „დიფერენციალური კალკულუსი“ (1755) ამბობს: „როდესაც გარკვეული სიდიდეები სხვებზეა დამოკიდებული ისე, რომ როდესაც ეს უკანასკნელი იცვლება, ისინი თავად ექვემდებარებიან ცვლილებას, მაშინ პირველებს უწოდებენ ამ უკანასკნელის ფუნქციებს“.
მე-19 საუკუნის დასაწყისიდან ფუნქციის ცნება სულ უფრო და უფრო ყალიბდებოდა მისი ანალიტიკური წარმოდგენის ხსენების გარეშე. „ტრაქტატში დიფერენციალური და ინტეგრალური კალკულუსის შესახებ“ (1797-1802) ს. ლაკრუა ამბობს: „ყოველი სიდიდე, რომლის ღირებულება დამოკიდებულია ერთ ან ბევრ სხვა სიდიდეზე, ამ უკანასკნელთა ფუნქცია ეწოდება“. ჯ.ფურიეს (1822) „სითბოს ანალიტიკურ თეორიაში“ არის ფრაზა: „ფუნქცია. f(x)აღნიშნავს სრულიად თვითნებურ ფუნქციას, ანუ მოცემული მნიშვნელობების თანმიმდევრობას, ექვემდებარება თუ არა ზოგად კანონს და შეესაბამება ყველა მნიშვნელობას. xშეიცავს 0-სა და გარკვეულ მნიშვნელობას შორის x" ნ.ი.ლობაჩევსკის განმარტება ახლოსაა თანამედროვესთან: „...ფუნქციის ზოგადი კონცეფცია მოითხოვს, რომ ფუნქცია xდაასახელეთ ნომერი, რომელიც მოცემულია თითოეულზე xდა ერთად xთანდათან იცვლება. ფუნქციის მნიშვნელობა შეიძლება მიენიჭოს ან ანალიტიკური გამოსახულებით, ან პირობით, რომელიც უზრუნველყოფს ყველა რიცხვის შესამოწმებლად და ერთ-ერთის არჩევის საშუალებას, ან, საბოლოოდ, დამოკიდებულება შეიძლება არსებობდეს და დარჩეს უცნობი. იქვე ნათქვამია ცოტა დაბლა: „თეორიის ფართო ხედვა იძლევა დამოკიდებულების არსებობის საშუალებას მხოლოდ იმ გაგებით, რომ რიცხვები ერთმანეთთან კავშირში გაგებულია ისე, თითქოს ერთად არის მოცემული“. ამრიგად, ფუნქციის თანამედროვე განმარტება, ანალიტიკურ ამოცანებზე მითითების გარეშე, ჩვეულებრივ პ.დირიხლეტს (1837), არაერთხელ იყო შემოთავაზებული მის წინაშე:
y-ს აქვს x ცვლადის ფუნქცია (სეგმენტზე https://pandia.ru/text/78/093/images/image002_83.gif" width="95" height="27 src=">. ორივე მხარის კვადრატში განტოლებიდან მოვიშოროთ ირაციონალურობა, მაგრამ მივაქციოთ ყურადღება, რომ კვადრატი, ზოგადად რომ ვთქვათ, არ არის ეკვივალენტური ტრანსფორმაცია და კვადრატში შეიძლება მივიღოთ დამატებითი ფესვები. თუ ფესვები მთლიანია, მაშინ ადვილია. შესამოწმებლად, მაგრამ ზოგიერთ შემთხვევაში, შემოწმება მოუხერხებელია, შემდეგ გამოიყენეთ ამ განტოლების შემცირება ეკვივალენტურ სისტემაზე:
.
ამ შემთხვევაში, არ არის საჭირო ODZ-ის პოვნა: პირველი განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ x-ის მიღებული მნიშვნელობები აკმაყოფილებს შემდეგ უტოლობას: https://pandia.ru/text/78/093/images/image005_34. gif" width="107" height="27 src="> არის სისტემა:
ვინაიდან ისინი თანაბრად შედიან განტოლებაში, მაშინ უტოლობის ნაცვლად შეგიძლიათ ჩართოთ უტოლობა https://pandia.ru/text/78/093/images/image010_15.gif" width="220" height="49"> 
https://pandia.ru/text/78/093/images/image015_10.gif" width="239" height="51"> 
3. ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა.
3.1. ლოგარითმული განტოლების ამოხსნის სქემა
მაგრამ საკმარისია ODZ-ის მხოლოდ ერთი პირობის შემოწმება.
3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">
4. ფორმის ტრიგონომეტრიული განტოლებებისისტემის ეკვივალენტურია (უტოლობის ნაცვლად შეგიძლიათ სისტემაში ჩართოთ უტოლობა https://pandia.ru/text/78/093/images/image025_2.gif" width="377" height="23"> ექვივალენტურია განტოლებამდე
4. დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის მახასიათებლები და საფრთხეები
მათემატიკის გაკვეთილებზე ჩვენ ვალდებულნი ვართ ვიპოვოთ DL თითოეულ მაგალითში. ამავდროულად, საკითხის მათემატიკური არსის მიხედვით, ODZ-ის პოვნა სულაც არ არის სავალდებულო, ხშირად არ არის აუცილებელი და ზოგჯერ შეუძლებელი - და ეს ყველაფერი მაგალითის ამოხსნის ყოველგვარი დაზიანების გარეშე. მეორეს მხრივ, ხშირად ხდება, რომ მაგალითის ამოხსნის შემდეგ სკოლის მოსწავლეებს ავიწყდებათ DL-ის გათვალისწინება, საბოლოო პასუხის სახით ჩაწერა და მხოლოდ რამდენიმე პირობის გათვალისწინება. ეს გარემოება ცნობილია, მაგრამ „ომი“ ყოველწლიურად გრძელდება და, როგორც ჩანს, კიდევ დიდხანს გაგრძელდება.
განვიხილოთ, მაგალითად, შემდეგი უტოლობა:
აქ იძებნება ODZ და იხსნება უთანასწორობა. თუმცა, ამ უთანასწორობის გადაჭრისას, სკოლის მოსწავლეებს ზოგჯერ სჯერათ, რომ სავსებით შესაძლებელია ODZ-ის ძიების გარეშე, უფრო სწორად, შესაძლებელია ამის გაკეთება პირობის გარეშე.
სინამდვილეში, სწორი პასუხის მისაღებად აუცილებელია გავითვალისწინოთ როგორც უტოლობა, ასევე.
მაგრამ, მაგალითად, განტოლების ამოხსნა: https://pandia.ru/text/78/093/images/image033_3.gif" width="79 height=75" height="75">
რაც უდრის ODZ-თან მუშაობას. თუმცა, ამ მაგალითში, ასეთი სამუშაო არასაჭიროა - საკმარისია შეამოწმოთ ამ უტოლობებიდან მხოლოდ ორი, და ნებისმიერი ორი.
შეგახსენებთ, რომ ნებისმიერი განტოლება (უტოლობა) შეიძლება შემცირდეს ფორმამდე. ODZ უბრალოდ მარცხენა მხარეს ფუნქციის განსაზღვრის დომენია. ის ფაქტი, რომ ამ არეალის მონიტორინგი უნდა მოხდეს, გამომდინარეობს ფესვის, როგორც რიცხვის განსაზღვრებიდან მოცემული ფუნქციის განსაზღვრის დომენიდან, შესაბამისად, ODZ-დან. აქ არის სასაცილო მაგალითი ამ თემაზე..gif" width="20" height="21 src="> აქვს დადებითი რიცხვების სიმრავლის განსაზღვრის დომენი (ეს, რა თქმა უნდა, არის შეთანხმება ფუნქციის განხილვისას , მაგრამ გონივრული), და შემდეგ -1 არ არის ფესვი.
5. მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი - არსებობს გამოსავალი
და ბოლოს, უამრავ მაგალითში, ODZ-ის პოვნა საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ პასუხი რთული გამოთვლების გარეშე, ან თუნდაც ზეპირად.
1. OD3 არის ცარიელი ნაკრები, რაც ნიშნავს, რომ თავდაპირველ მაგალითს არ აქვს გადაწყვეტილებები.
1)
2) 3) 
2. ბოძ ნაპოვნია ერთი ან მეტი რიცხვი და მარტივი ჩანაცვლება სწრაფად განსაზღვრავს ფესვებს.
1)
, x=3
2)
აქ ODZ-ში არის მხოლოდ ნომერი 1
და ჩანაცვლების შემდეგ ირკვევა, რომ ეს არ არის ფესვი.
3) ODZ-ში არის ორი ნომერი: 2 და 3 და ორივე შესაფერისია.
4) > ODZ-ში არის ორი ნომერი 0 და 1 და მხოლოდ ჯდება 1 .
ODZ შეიძლება ეფექტურად იქნას გამოყენებული თავად გამოხატვის ანალიზთან ერთად.
5) 
< ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем x=2. შემდეგ ჩვენ ვცვლით უტოლობას 2
.
6) 
ODZ-დან გამომდინარეობს, რომ სადაც გვაქვს ..gif" width="143" height="24"> ODZ-დან გვაქვს: . მაგრამ შემდეგ და . ვინაიდან, გადაწყვეტილებები არ არსებობს.
ODZ-დან გვაქვს:..gif" width="53" height="24 src=">.gif" width="156" height="24"> ODZ: . Მას შემდეგ
Მეორეს მხრივ,. თანასწორობა შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც განტოლების თითოეული მხარე ტოლია 0 , ანუ როდის x=1. ამ მნიშვნელობის ჩანაცვლების შემდეგ Xჩვენ დარწმუნებული ვართ, რომ გადაწყვეტილებები არ არსებობს.
ოძ:. განვიხილოთ განტოლება ინტერვალზე [-1; 0).
ის ასრულებს შემდეგ უტოლობებს https://pandia.ru/text/78/093/images/image072_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src="> და არ არსებობს გამოსავალი. ფუნქციით და https://pandia.ru/text/78/093/images/image077_0.gif" width="179" height="25">. ODZ: x>2. სადაც . ეს ნიშნავს, რომ საწყისი თანასწორობა შეუძლებელია და არ არსებობს გადაწყვეტილებები.
ახლა მოვიყვანოთ მაგალითი, რომელიც მასწავლებელმა შემოგვთავაზა ალგებრის გაკვეთილზე. ჩვენ მაშინვე ვერ მოვაგვარეთ, მაგრამ როდესაც ვიპოვეთ ODZ, ყველაფერი ნათელი გახდა.
იპოვეთ განტოლების მთელი ფესვი https://pandia.ru/text/78/093/images/image080_0.gif" width="124" height="77"> 
მთელი რიცხვის ამოხსნა შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში x=3და x=5. შემოწმებით აღმოვაჩენთ, რომ ფესვი x=3არ ჯდება, ამიტომ პასუხია: x=5.
6. მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის პოვნა დამატებითი სამუშაოა. გადასვლების ეკვივალენტობა.
თქვენ შეგიძლიათ მოიყვანოთ მაგალითები, სადაც სიტუაცია ნათელია თუნდაც DZ-ის პოვნის გარეშე.
1. 
ტოლობა შეუძლებელია, რადგან უფრო დიდი გამოსახულების გამოკლებისას, შედეგი უნდა იყოს უარყოფითი რიცხვი.
2. 
.
ორი არაუარყოფითი ფუნქციის ჯამი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.
მე ასევე მოვიყვან მაგალითებს, სადაც ODZ-ის პოვნა რთულია და ზოგჯერ უბრალოდ შეუძლებელი.
დაბოლოს, ODZ-ის ძიება ძალიან ხშირად მხოლოდ დამატებითი სამუშაოა, რომლის გარეშეც შეგიძლიათ გააკეთოთ, რითაც დაამტკიცეთ თქვენი გაგება იმის შესახებ, რაც ხდება. აქ არის უამრავი მაგალითის მოყვანა, ამიტომ ჩვენ გამოვარჩევთ მხოლოდ ყველაზე ტიპურს. ამოხსნის მთავარი მეთოდი ამ შემთხვევაში არის ეკვივალენტური გარდაქმნები ერთი განტოლებიდან (უტოლობა, სისტემა) მეორეზე გადასვლისას.
1.
. ODZ არ არის საჭირო, რადგან ამ მნიშვნელობების აღმოჩენის შემდეგ X, რომელიც x2=1, ვერ მივიღებთ x=0.
2. . ODZ არ არის საჭირო, რადგან ვხვდებით, როდის უდრის რადიკალური გამოხატულება დადებით რიცხვს.
3. . ODZ არ არის საჭირო იმავე მიზეზების გამო, როგორც წინა მაგალითში.
4. 
ODZ არ არის საჭირო, რადგან რადიკალური გამოხატულება უდრის ზოგიერთი ფუნქციის კვადრატს და, შესაბამისად, არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.
5. 
6. . ODZ არ არის საჭირო, რადგან გამოხატვა ყოველთვის დადებითია.
7. 
გადაჭრისთვის საკმარისია რადიკალური გამოხატვის მხოლოდ ერთი შეზღუდვა. ფაქტობრივად, წერილობითი შერეული სისტემიდან გამომდინარეობს, რომ სხვა რადიკალური გამოხატულება არის არაუარყოფითი.
8. DZ არ არის საჭირო იმავე მიზეზების გამო, როგორც წინა მაგალითში.
9. 
ODZ არ არის საჭირო, რადგან საკმარისია ლოგარითმის ნიშნების ქვეშ სამი გამოსახულებიდან ორი იყოს დადებითი, რათა უზრუნველყოს მესამეს პოზიტიურობა.
10. 
.gif" width="357" height="51"> ODZ არ არის საჭირო იმავე მიზეზების გამო, როგორც წინა მაგალითში.
თუმცა, აღსანიშნავია, რომ ეკვივალენტური გარდაქმნების მეთოდის გამოყენებით ამოხსნისას ODZ-ის (და ფუნქციების თვისებების) ცოდნა გვეხმარება.
Აი ზოგიერთი მაგალითი.
1. . OD3, რაც გულისხმობს, რომ მარჯვენა მხარეს გამოსახულება დადებითია და შესაძლებელია ამ ფორმის ექვივალენტური განტოლების დაწერა. მიღებული შედეგი უნდა შემოწმდეს ODZ-სთან მიმართებაში.
2. 
ოძ: . მაგრამ მაშინ და ამ უტოლობის ამოხსნისას არ არის საჭირო იმ შემთხვევის გათვალისწინება, როდესაც მარჯვენა მხარე 0-ზე ნაკლებია.
3. . ODZ-დან გამომდინარეობს, რომ და, შესაბამისად, შემთხვევა, როდესაც , გამორიცხულია.
ზოგადად, ეკვივალენტური გარდაქმნების მეთოდის ეფექტურობა აშკარად ჩანს. მათი დახმარებით ჩვენ ვიღებთ პასუხს DZ-ის ძიების გარეშე. ნიშნავს თუ არა ეს, რომ არსებობს რაიმე უნივერსალური მეთოდი და რჩება მხოლოდ მისი გამოყენების სწავლა? მაგრამ ეს ასე არ არის. ამის რამდენიმე მიზეზი არსებობს. საკმაოდ ბევრი თეორემაა ეკვივალენტური გარდაქმნების შესახებ, მათი დამახსოვრება ადვილი არ არის და მათი თავდაჯერებული დაუფლება არც ისე ადვილი საქმეა. ხშირად, ეკვივალენტური გარდაქმნების გამოყენებით, თქვენ იწყებთ ამ ნიშნის დადებას ერთი განტოლებიდან მეორეზე გადასვლებზე, როგორც ჭეშმარიტად ეკვივალენტური, ისე არა. ეს თეორემები სწრაფად დავიწყებულია.
კიდევ ერთი სირთულე ის არის, რომ ეკვივალენტობის წერისას შეგიძლიათ დაივიწყოთ ყველა პირობის ჩაწერა, რომელიც გარანტიას იძლევა, მაგრამ ამან შეიძლება არანაირად არ იმოქმედოს პასუხზე. აქ არის ორი ასეთი მაგალითი:
1. ზოგადად გადასვლა ასე გამოიყურება:
ამ მაგალითში გამოხატვა ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მარჯვნივ ყოველთვის დადებითია. მაშასადამე, ამ მაგალითთან მიმართებაში, ეკვივალენტობის პირობების ის ნაწილი, რომელიც დაწერილია სიმრავლის სახით, არაფერს ამატებს. მაგრამ ასეთი გადაწყვეტილების მიღების შემდეგ, შეგიძლიათ უბრალოდ დაივიწყოთ ეს მთლიანობა.
არსებობს ორი შესაძლო შემთხვევა: 0<<1 и >1.
ეს ნიშნავს, რომ თავდაპირველი უტოლობა უდრის უტოლობების სისტემების შემდეგი ნაკრების:
პირველ სისტემას არ აქვს ამონახსნები, მაგრამ მეორიდან ვიღებთ: x<-1 – решение неравенства.
ეკვივალენტობის პირობების გაგება მოითხოვს გარკვეული დახვეწილობის ცოდნას. მაგალითად, რატომ არის შემდეგი განტოლებები ეკვივალენტური:
ან 
და ბოლოს, ალბათ ყველაზე მნიშვნელოვანი. ფაქტია, რომ ეკვივალენტობა იძლევა პასუხის სისწორის გარანტიას, თუ განტოლების გარკვეული გარდაქმნები ხდება, მაგრამ არ გამოიყენება მხოლოდ ერთ ნაწილში გარდაქმნებისთვის. აბრევიატურები და სხვადასხვა ფორმულების გამოყენება ერთ-ერთ ნაწილში არ არის დაფარული ეკვივალენტობის თეორემებით. ამ ტიპის რამდენიმე მაგალითი მოყვანილია ნაშრომში. მოდით შევხედოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს.
1. ეს გადაწყვეტილება ბუნებრივია. მარცხენა მხარეს, ლოგარითმული ფუნქციის თვისების მიხედვით, გადავდივართ გამოხატულებაზე. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ განტოლებას. ეს არის ასეთი სისტემის ტოლფასი
ამ სისტემის ამოხსნის შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ შედეგს (-2 და 2), რაც, თუმცა, არ არის პასუხი, რადგან რიცხვი -2 არ შედის ODZ-ში. მაშ, გვჭირდება თუ არა ODS-ის დაყენება? Რათქმაუნდა არა. მაგრამ რადგან ჩვენ გამოვიყენეთ ლოგარითმული ფუნქციის გარკვეული თვისება ამონახსნისას, მაშინ ჩვენ ვალდებულნი ვართ მივცეთ ის პირობები, რომლითაც ის დაკმაყოფილებულია. ასეთი პირობაა გამონათქვამების პოზიტიურობა ლოგარითმის ნიშნით..gif" width="65" height="48">.
2. 
..gif" width="143" height="27">.gif" width="147" height="24">დაამატეთ პირობა და მაშინვე ნახავთ, რომ მხოლოდ ნომერი https://pandia.ru/ აკმაყოფილებს ამ პირობას text/78/093/images/image129.gif" width="117" height="27">) აჩვენა ტესტის ჩამბარებელთა 52%-მა. ასეთი დაბალი მაჩვენებლების ერთ-ერთი მიზეზი არის ის, რომ ბევრმა კურსდამთავრებულმა არ შეარჩია განტოლებიდან მიღებული ფესვები მისი კვადრატის შემდეგ.
3) განვიხილოთ, მაგალითად, C1 ამოცანის ერთ-ერთი ამოხსნა: „იპოვე x-ის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც არის ფუნქციის გრაფიკის წერტილები. 
დევს ფუნქციის გრაფიკზე შესაბამისი წერტილების ზემოთ. ამოცანა მთავრდება ლოგარითმული გამოხატვის შემცველი წილადი უტოლობის ამოხსნით. ჩვენ ვიცით ასეთი უტოლობების ამოხსნის მეთოდები. მათგან ყველაზე გავრცელებულია ინტერვალის მეთოდი. თუმცა მისი გამოყენებისას გამოცდის მონაწილეები უშვებენ სხვადასხვა შეცდომებს. მოდით შევხედოთ ყველაზე გავრცელებულ შეცდომებს უთანასწორობის მაგალითზე:
1. კურსდამთავრებულები სწორად პოულობენ DL-ს უტოლობათა სისტემის ამოხსნით:
სადაც x 
. შემდეგ, უტოლობის ორივე მხარის საერთო მნიშვნელზე გამრავლებით, მივიღებთ უტოლობას: log(23 - 10 x
2..gif" width="124" height="29">. შემდეგ ისინი იღებენ x– 10 +
; . ამ განტოლების ამოხსნით და პირობის გათვალისწინებით, კურსდამთავრებულები ასკვნიან, რომ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.
3. გამოცდის მონაწილეები სწორად გარდაქმნიან განტოლებას ფორმაში
და განიხილეთ ორი შემთხვევა: x 10 და x < 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие x < 10.
8. დასკვნა
ამ ნაშრომში ჩვენ შევეცადეთ შეგვესწავლა მისაღები მნიშვნელობების არსებობის ფენომენი სხვადასხვა ტიპის განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას, გავაანალიზეთ ეს სიტუაცია და გავაკეთეთ ლოგიკურად სწორი დასკვნები მაგალითებში, სადაც აუცილებელია გავითვალისწინოთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი. ჩემთვის თემა „დასაშვები ფასეულობების რეგიონი“ ძალიან რთული და გაუგებარი ჩანდა და სკოლის სახელმძღვანელოებში ამ თემას სათანადო ადგილი არ ეთმობა, პრაქტიკულად არ არის დაფარული, თუმცა ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანები შეიცავს დავალებებს განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის შესახებ. აუცილებელია ვიპოვოთ დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი. მუშაობის პროცესში დავდექით იმ ფაქტის წინაშე, რომ ამ თემაზე ლიტერატურა არ არის საკმარისი სრული და სისტემატური შესწავლისთვის. ვფიქრობთ, ეს თემა მათემატიკოსებისა და მეთოდოლოგების დიდ ყურადღებას მოითხოვს.
მრავალი მაგალითის ამოხსნის შემდეგ სხვადასხვა წყაროდან, შეგვიძლია გამოვიტანოთ გარკვეული დასკვნა: არ არსებობს განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის უნივერსალური მეთოდი. ყოველ ჯერზე, თუ გსურთ გაიგოთ რას აკეთებთ და არ იმოქმედოთ მექანიკურად, ფიქრობთ: გადაწყვეტის რომელი მეთოდი უნდა აირჩიოთ, კერძოდ, უნდა მოძებნოთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი თუ არა? ჩვენ გვჯერა, რომ მიღებული გამოცდილება დაგეხმარებათ ამ დილემის გადაჭრაში. მოსწავლეები შეწყვეტენ შეცდომებს მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის სწორად გამოყენების სწავლით. შევძლებთ თუ არა ამას, დრო გვიჩვენებს, უფრო სწორად, 2010 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა.
ვიმედოვნებთ, რომ წარმოდგენილი ნამუშევარი საინტერესო და გამოსადეგი იქნება მასწავლებლებისა და სტუდენტებისთვის და შეწყვეტს საგანმანათლებლო უნარების არსებობას. "რაღაც ცუდი ODZ"სკოლის მოსწავლეებისთვის.
9. ლიტერატურა
1. და სხვ. „ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი 10-11“ პრობლემური წიგნი და სახელმძღვანელო, მ.: „პროსვეშჩენიე“, 2002 წ.
2. „დაწყებითი მათემატიკის სახელმძღვანელო“. მ.: "მეცნიერება", 1966 წ.
3. გაზეთი „მათემატიკა“ No46, ქ.
4. გაზეთი „მათემატიკა“ No.
5. გაზეთი „მათემატიკა“ No.
6. „მათემატიკის ისტორია სკოლაში VII-VIII კლასები“. მ.: „განმანათლებლობა“, 1982 წ.
7. და ა.შ.. ”ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის რეალური ამოცანების ვარიანტების ყველაზე სრულყოფილი გამოცემა: 2009/FIPI” - M.: “Astrel”, 2009 წ.
8. და სხვა „ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა. მათემატიკა. უნივერსალური მასალები სტუდენტების მოსამზადებლად/FIPI“ - მ.: „ინტელექტ ცენტრი“, 2009 წ.
9. და სხვა "ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი 10-11." მ.: „განმანათლებლობა“, 2007 წ.
10. ,,ვორკშოპი სასკოლო მათემატიკაში ამოცანების ამოხსნის შესახებ (ვორკშოპი ალგებრაში).“ მ.: განათლება, 1976 წ.
11. „25000 მათემატიკის გაკვეთილი“. მ.: „განმანათლებლობა“, 1993 წ.
12. „ვემზადებით მათემატიკაში ოლიმპიადებისთვის“. მ.: „გამოცდა“, 2006 წ.
13. „ენციკლოპედია ბავშვებისთვის „მათემატიკა“ ტომი 11, მ.: ავანტა +; 2002 წ.
14. მასალები საიტებიდან http://www. *****, http://www. *****.
ინტერნეტპორტალი Wikipedia http://ru. ვიკიპედია. org/wiki/Numeric_function (წვდომა 03/05/2010).
,,ვორკშოპი სასკოლო მათემატიკაში ამოცანების ამოხსნის შესახებ (ვორკშოპი ალგებრაში).“ მ.: განათლება, 1976, გვ.64.
კითხვა სტუდენტისგან პასუხებზე@***** http://otvet. *****/question/8166619/ (ნახვის თარიღი 03/22/2010)
მეთოდური წერილი „საშუალო (სრული) ზოგადი განათლების საგანმანათლებლო დაწესებულებებში მათემატიკის სწავლებაში 2008 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის შედეგების გამოყენების შესახებ“ http://www. ***** (ნახვის თარიღი 17/12/2009)
გილოცავთ, ძვირფასო მკითხველებო!
საბოლოოდ მივაღწიეთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა.ახლა ჩვენ გადავჭრით რამდენიმე განტოლებას, რომლებიც მსგავსია ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანებისა. რა თქმა უნდა, რეალურ გამოცდაზე დავალებები ცოტა უფრო რთული იქნება, მაგრამ არსი იგივე დარჩება.
პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ მარტივ განტოლებას (მსგავსი განტოლებები უკვე მოვაგვარეთ წინა გაკვეთილებზე, მაგრამ მათი გამეორება ყოველთვის სასარგებლოა).
$$(2\cos x + 1) (2\sin x - \sqrt(3)) = 0.$$
ვფიქრობ, ახსნა-განმარტებები იმის შესახებ, თუ როგორ უნდა გადაწყვიტო, ზედმეტია.
$$2\cos x + 1 = 0 \text(ან ) 2\sin x - \sqrt(3) =0,$$
$$\cos x = -\frac(1)(2) \text(ან ) \sin x = \frac(\sqrt(3))(2),$$
ჰორიზონტალური წერტილოვანი ხაზი აღნიშნავს ამოხსნა სინუსთან განტოლებისთვის, ვერტიკალური - კოსინუსით.
ამრიგად, საბოლოო გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს, მაგალითად, ასე:
$$\left[ \begin(მასივი)(l)x= \pm \frac(2\pi)(3), \\x = \frac(\pi)(3)+2\pi k. \end(მასივი)\right.$$
ტრიგონომეტრიული განტოლება ODZ-თან
$$(1+\cos x)\left(\frac(1)(\sin x) - 1\მარჯვნივ) = 0.$$
ამ მაგალითში მნიშვნელოვანი განსხვავებაა ის, რომ სინუსი ჩნდება მნიშვნელში. მიუხედავად იმისა, რომ წინა გაკვეთილებში მსგავსი განტოლებები ცოტათი მოვაგვარეთ, ღირს ODZ-ზე უფრო დეტალურად საუბარი.
ოძ
`\sin x \neq 0 \მარჯვენა ისარი x \neq \pi k`. როდესაც ამონახსნებს წრეზე მოვნიშნავთ, ფესვების ამ სერიას მოვნიშნავთ სპეციალურად გახვრეტილი (გახსნილი) წერტილებით, რათა დავანახოთ, რომ `x`-ს არ შეუძლია ასეთი მნიშვნელობების მიღება.
გამოსავალი
მოდით შევამციროთ საერთო მნიშვნელამდე და შემდეგ მონაცვლეობით გავუტოლოთ ორივე ფრჩხილს ნულამდე.
$$(1+\cos x)\left(\frac(1-\sin x)(\sin x)\მარჯვნივ) = 0,$$
$$1+\cos x = 0 \text(ან ) \frac(1-\sin x)(\sin x) = 0,$$
$$\cos x = -1 \text(ან ) \sin x=1.$$
იმედი მაქვს ამ განტოლებების ამოხსნა არ გამოიწვევს რაიმე სირთულეს.
ფესვების სერია - განტოლების ამონახსნები - ნაჩვენებია ქვემოთ წითელი წერტილებით. ნახატზე ლურჯად მონიშნულია ODZ.
ამრიგად, ჩვენ გვესმის, რომ განტოლების `\cos x = -1` ამონახსნი არ აკმაყოფილებს ODZ-ს.
პასუხი იქნება მხოლოდ ფესვების სერია `x = \frac(\pi)(2) + 2\pi k`.
კვადრატული ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა
ჩვენი პროგრამის შემდეგი პუნქტია კვადრატული განტოლების ამოხსნა. არაფერია ამაში რთული. მთავარია ნახოთ კვადრატული განტოლება და ჩანაცვლება გააკეთოთ, როგორც ეს ნაჩვენებია ქვემოთ.
$$3\sin^2 x + \sin x =2,$$
$$3\sin^2 x + \sin x -2=0.$$
მოდით `t= \sin x`, მაშინ მივიღებთ:
$$3t^2 + t-2=0.$$
$$t_1 = \frac(2)(3), t_2 = -1.$$
მოდით გავაკეთოთ საპირისპირო ჩანაცვლება.
$$\sin x = \frac(2)(3) \text(ან ) \sin x = -1.$$
$$\left[\begin(მასივი)(l)x = \arcsin \frac(2)(3) + 2\pi k, \\ x = \pi - \arcsin \frac(2)(3) + 2 \pi k, \\ x = -\frac(\pi)(2) + 2\pi k. \end(მასივი) \right.$$
კვადრატული განტოლების ამოხსნა ტანგენტით
ამოვხსნათ შემდეგი განტოლება:
$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg)))(\tg)^2 2x - 6\tg 2x +5 =0, $$
გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ტანგენტის არგუმენტი არის `2x` და საბოლოო პასუხის მისაღებად დაგჭირდებათ გაყოფა `2`-ზე. მოდით `t=\tg 2x`, მაშინ
$$t^2 - 6t +5 =0, $$
$$t_1 = 5, t_2 = 1.$$
საპირისპირო ჩანაცვლება.
$$\tg x = 5,\tg x = 1.$$
$$\left[\begin(მასივი)(l)2x = \arctan(5)+\pi k, \\ 2x = \frac(\pi)(4) + \pi k. \end(მასივი) \right.$$
ახლა მოდით გავყოთ ორივე სერია ორზე, რათა გავიგოთ, თუ რას უდრის სინამდვილეში `x'.
$$\მარცხნივ[\ დასაწყისი(მასივი)(l)x = \frac(1)(2)\arctan(5)+\frac(\pi k)(2), \\ 2x = \frac(\pi) (8) + \frac(\pi k)(2). \end(მასივი) \right.$$
ასე რომ, ჩვენ მივიღეთ პასუხი.
ბოლო განტოლება (ტანგენსის და სინუსის ნამრავლი)
$$\tg x \cdot \sin 2x = 0.$$
ოძ
ვინაიდან ტანგენსი არის წილადი, რომლის მნიშვნელი არის კოსინუსი, მაშინ ODZ-ში ვიღებთ, რომ `\cos x \neq 0 \მარჯვენა ისარი x \neq \frac(\pi)(2)+\pi k.`
გამოსავალი
$$\tg x =0 \text(ან ) \sin 2x = 0.$$
ეს განტოლებები ადვილად ამოსახსნელია. ჩვენ ვიღებთ:
$$x = \pi k \text(ან ) 2x = \pi k,$$
$$x = \pi k \text(ან ) x = \frac(\pi k)(2).$$
ახლა ყველაზე საინტერესო: მას შემდეგ, რაც ჩვენ გვქონდა ODZ, ჩვენ უნდა შევასრულოთ ფესვების შერჩევა. მოდით აღვნიშნოთ შედეგად მიღებული ფესვების სერია წრეზე. (როგორ გავაკეთოთ ეს დეტალურად ნაჩვენებია თანდართულ ვიდეოში.)
ODZ მონიშნულია ლურჯად, ხსნარები წითლად. ჩანს, რომ პასუხი იქნება `x = \pi k`.
ამით მთავრდება მეხუთე გაკვეთილი. აუცილებლად ივარჯიშეთ განტოლებების ამოხსნაში. ერთია, იცოდე გადაწყვეტის პროგრესი ზოგადი თვალსაზრისით, მეორე საკითხია, გქონდეს მართალი კონკრეტული პრობლემის გადაჭრისას. თანდათანობით ივარჯიშეთ პრობლემის გადაჭრის თითოეულ ელემენტს. ახლა მთავარია ვისწავლოთ როგორ ვიმუშაოთ კომპეტენტურად ტრიგონომეტრიულ წრესთან, იპოვოთ ამონახსნები მისი დახმარებით, ნახოთ ODZ და სწორად გააკეთოთ ჩანაცვლება კვადრატული განტოლებისთვის.
დავალებები ტრენინგისთვის
ამოხსენით განტოლებები:
- `2 \cos^2 \frac(x)(2) + \sqrt(3) \cos \frac(x)(2) = 0`,
- `3 (\tg)^2 2x + 2\tg 2x -1= 0`,
- `2\cos^2 3x - 5\cos 3x -3 =0`,
- `\sin^2 4x + \sin x - \cos^2x =0` (გამოიყენეთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობა),
- `4\sin^2 \left(x-\frac(\pi)(3) \მარჯვნივ) - 3 =0`.
Ეს საკმარისია. თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვა, უბრალოდ ჰკითხეთ! დაალაიქეთ თუ ჩემი ნამუშევარი სასარგებლო იყო :)
როგორ მოვძებნოთ იგივე ODZ? ჩვენ ყურადღებით განვიხილავთ მაგალითს და ვეძებთ საშიშ ადგილებს. ადგილები, სადაც შესაძლებელია აკრძალული ქმედებები. მათემატიკაში ასეთი აკრძალული მოქმედებები ძალიან ცოტაა.
მეტი გაკვეთილი საიტზე
ARV (მისაღები მნიშვნელობის ზონა)
განტოლების მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი არის x-ის მნიშვნელობების სიმრავლე, რომლისთვისაც განტოლების მარჯვენა და მარცხენა მხარე აზრი აქვს..
ეს არის x-ის მნიშვნელობები, რომლებიც შეიძლება იყოს პრინციპში. ვთქვათ, განტოლებაში = 1 ჯერ არ ვიცით, რისი ტოლია x. განტოლება ჯერ არ ამოგვიხსნია. მაგრამ ჩვენ უკვე ზუსტად ვიცით, რომ x არავითარ შემთხვევაში არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი! ნულზე ვერ გაყოფ!ნებისმიერი სხვა რიცხვი - მთელი რიცხვი, წილადი, უარყოფითი - გთხოვთ, მაგრამ ნული - არასოდეს! წინააღმდეგ შემთხვევაში ორიგინალური გამოთქმა სისულელე ხდება. ეს ნიშნავს, რომ ODZ ამ მაგალითში არის: x – არაფერი, გარდა ნულისა. Გავიგე?
როგორ მოვძებნოთ, როგორ ჩავწეროთ, როგორ ვიმუშაოთ?
Ძალიან მარტივი. მაგალითის გვერდით ჩაწერეთ ODZ. ამ კარგად ცნობილი ასოების ქვეშ, თავდაპირველ განტოლებას ვუყურებთ, ვწერთ x-ის მნიშვნელობებს, რომლებიც დაშვებულია ორიგინალური მაგალითისთვის. Ან პირიქით: იპოვნეთ x-ის აკრძალული მნიშვნელობები,რომელშიც თავდაპირველი მაგალითი კარგავს ყოველგვარ მნიშვნელობას და გამორიცხავს მათ.
მაგრამ ყველას არ ახსოვს ისინი. ახლავე შეგახსენებ მათ და გირჩევთ დაიმახსოვროთ.
ლუწი სიმრავლის ძირის ნიშნის ქვეშ გამოხატული უნდა იყოს ნულის მეტი ან ტოლი.
წილადის მნიშვნელში გამოხატული არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი.
- არსებობს ორი ფუნქცია, რომელიც შეიცავს "დამალულ" წილადს:
ასევე არის აკრძალვები ლოგარითმულ განტოლებებში - ამას განვიხილავთ შესაბამის თემებში. ყველა. როცა სახიფათო ადგილებს ვიპოვით, ვიანგარიშებთ x-ს, რაც სისულელემდე მიგვიყვანს.
გამოსახულების მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის მოსაძებნად, თქვენ უნდა შეამოწმოთ არის თუ არაგამოხატვის განტოლებარომელიც ზემოთ ჩამოვთვალე. და როდესაც აღმოაჩენთ გამონათქვამებს, ჩაწერეთ მათ მიერ დაწესებული შეზღუდვები, გადაადგილდით "გარეთ" "შიგნით". და ჩვენ გამოვრიცხავთ მათ.
Მნიშვნელოვანი! ODZ-ს საპოვნელად ჩვენ არ ვხსნით მაგალითს! ჩვენ ვხსნით მაგალითის ნაწილებს აკრძალული X-ების მოსაძებნად. ეს რთულად გამოიყურება ახსნაში, მაგრამ პრაქტიკაში ძალიან მარტივია.
მე კონკრეტულად არაფერი მითქვამს DD-ზე წინა გაკვეთილებზე. რომ არ შეგაშინოთ... განხილულ მაგალითებში DL არანაირად არ იმოქმედა პასუხებზე. ყოველივე ამის შემდეგ, ჩვენს ჩამოთვლილ აკრძალვებში არ არის საჩვენებელი ფუნქცია. Ხდება ხოლმე. მაგრამ გარე დამოუკიდებელი ტესტირების ამოცანებში, DL, როგორც წესი, გავლენას ახდენს პასუხზე! ეს უნდა დაიწეროს არა ინსპექტორებისთვის, არამედ საკუთარი თავისთვის. არ დაწეროთ, თუ აშკარაა, რომ x არის ნებისმიერი რიცხვი. როგორც, მაგალითად, წრფივ განტოლებებში.
უამრავ მაგალითში, ODZ-ის პოვნა საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ პასუხი რთული გამოთვლების გარეშე. ან თუნდაც ზეპირად. ზოგიერთ განტოლებაში ის წარმოადგენს ცარიელ სიმრავლეს. ეს ნიშნავს, რომ თავდაპირველ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები. ან იქ არის ერთი ან მეტი რიცხვი და მარტივი ჩანაცვლება სწრაფად განსაზღვრავს ფესვებს.
რა არ მოგწონს? მართალია - წილადი. არც მე მომწონს, ამიტომ ვთავაზობ მოშორებას. ეს შეიძლება გაკეთდეს სხვადასხვა გზით. მნიშვნელის მოსაშორებლად, განტოლების ორივე მხარეს გავამრავლებ საერთო მნიშვნელზე x-4.
Ჩატვირთვა...
