Траектория выхода за пределы сферы тяготения ksp. Центральное поле тяготения. Гравитационные сферы планет Солнечной системы

Впервые за всю историю человечества рукотворный аппарат стал искусственным спутником астероида! Красивая фраза, однако, слова близкая к эллиптической требуют некоторого пояснения.

В учебниках по астрономии хорошо объясняется, как обращаются искусственные спутники по эллиптическим или почти круговым орбитам вокруг сферически симметричных тел, к числу которых можно отнести планеты и, в частности, нашу Землю. Однако взгляните на Эрос эту картофелеобразную глыбу размером 33*13*13 км. Гравитационное поле тела столь неправильной формы является весьма сложным, и чем ближе приближался к нему NEAR, тем сложнее становилась задача по его управлению. Совершив один виток вокруг Эроса, аппарат никогда не возвращался в точку его начала. Хуже того, не сохранялась даже плоскость орбиты зонда. Когда в коротких пресс-релизах сообщалось, что NEAR перешел на новую круговую орбиту, надо было видеть, какие замысловатые фигуры выписывал он в действительности!

Просто счастье, что в наше время на помощь людям пришли компьютеры. Сложная задача удержания аппарата на нужной орбите выполнялась программами автоматически. Если бы это делал человек, то ему можно было бы смело ставить памятник. Судите сами: во-первых, орбита аппарата никогда не должна была отклоняться более чем на 30 o от перпендикуляра к линии Солнце Эрос. Это требование определялось дешевой конструкцией аппарата. Панели солнечных батарей должны были всегда смотреть на Солнце (иначе смерть аппарата наступила бы в течение часа), главная антенна в момент передачи данных на Землю, а приборы во время их сбора на астероид. При этом все приборы, антенны и панели солнечных батарей были закреплены на NEAR неподвижно! 16 часов в сутки аппарату отводилось на сбор информации об астероиде и 8 на передачу данных через главную антенну на Землю .

Во-вторых, в большинстве экспериментов необходимы были как можно более низкие орбиты. А это, в свою очередь, требовало и более частых маневров, и большего расхода топлива. Тем ученым, которые производили картографирование Эроса, нужно было последовательно облететь на небольшой высоте все участки астероида, а тем из них, кто занимался получением изображений, вдобавок нужны были еще и различные условия освещения. Прибавьте к этому то, что на Эросе тоже существуют свои сезоны и полярные ночи. К примеру, южное полушарие открыло Солнцу свои просторы только к сентябрю 2000 года. Как в этих условиях угодить всем?

Помимо прочего, нужно было учесть еще и чисто технические требования к стабильности орбиты. В противном случае, потеряв связь с NEAR всего на неделю, можно было больше никогда его не услышать. И, наконец, ни при каких обстоятельствах нельзя было загонять аппарат в тень астероида. Он бы погиб там без Солнца! К счастью за окном компьютерный век, поэтому все эти задачи были возложены на электронику, люди же спокойно решали свои.

5.2. Орбиты небесных тел

Орбиты небесных тел траектории, по которым движутся в космическом пространстве Солнце, звезды, планеты, кометы, а также искусственные космические аппараты (искусственные спутники Земли, Луны и других планет, межпланетные станции и т.п.). Однако для искусственных космических аппаратов термин орбита применяют лишь к тем участкам их траекторий, на которых они движутся с выключенной двигательной установкой (так называемые пассивные участки траектории).

Формы орбит и скорости, с которыми движутся по ним небесные тела, определяются главным образом силой всемирного тяготения. При исследовании движения небесных тел в большинстве случаев допустимо не принимать во внимание их форму и строение, то есть считать их материальными точками. Такое упрощение возможно потому, что расстояние между телами обычно во много раз больше их размеров. Считая небесные материальными точками, мы можем при исследовании движения непосредственно применять закон всемирного тяготения. Кроме того, во многих случаях можно ограничиться рассмотрением движением только двух притягивающихся тел, пренебрегая влиянием других. Так, например, при изучении движения планеты вкруг Солнца можно с известной точностью предполагать, что планета движется толь под действием силы солнечного тяготения. Точно также при приближенном изучении движения искусственного спутника планеты можно принять во внимание лишь тяготения своей планеты, пренебрегая не только притяжением других планет, но и солнечной.

Указанные упрощения приводят к так называемой задаче двух тел. Одно из решений этой задачи было дано И. Кеплером, полное решение задачи было получено И. Ньютоном. Ньютон доказал, что одна из притягивающихся материальных точек обращается вокруг другой по орбите, имеющей форму эллипса (или окружности, которая является частным случаем эллипса), параболы или гиперболы. В фокусе этой кривой находится вторая точка.

Форма орбиты зависит от масс рассматриваемых тел, от расстояния между ними и от скорости, с которой одно тело движется относительно другого. Если тело массой m 1 (кг) находится на расстоянии r (м) от тела массой m 0 (кг) и движется в этот момент времени со скоростью V (м/с), то вид орбиты определяется величиной h = V 2 -2f(m 0 + m 1)/ r.

Постоянное тяготение G = 6.673 10 -11 м 3 кг -1 c -2 . Если h меньше 0, то тело m 1 движется относительно тела m 0 по эллиптической орбите; Если h равно 0 - по параболической орбите; Если h больше 0, то тело m 1 движется относительно тела m 0 по гиперболической орбите .

Наименьшая начальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно, начав движение вблизи поверхности Земли, преодолело земное притяжение и навсегда покинуло Землю по параболической орбите, называется второй космической скоростью. Она равна 11.2 км/с. Наименьшая начальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником Земли, называется первой космической скоростью. Она равна 7.91 км/с.

По эллиптическим орбитам движется большинство тел солнечной системы. Только некоторые малые тела Солнечной системы кометы, возможно, движутся по параболическим или гиперболическим орбитам. В задачах космического полета наиболее часто встречаются эллиптические и гиперболические орбиты. Так, межпланетные станции отправляются в полет, имея гиперболическую орбиту относительно Земли; затем они движутся по эллиптическим орбитам относительно Солнца по направлению к планете назначения.

Ориентация орбиты в пространстве, ее размеры и форма, а также положение небесного тела на орбите определяются шестью величинами, называемыми элементами орбиты. Некоторые характерные точки орбит небесных светил имеют собственные названия. Так, ближайшая к Солнцу точка орбиты небесного тела, движущегося вокруг Солнца, называется перигелием, а наиболее удаленная от него точка эллиптической орбиты афелием. Если рассматривается движение тела относительно Земли, то ближайшая к Земле точка орбиты называется перигеем, а самая далекая апогеем. В более общих задачах, когда под притягивающим центром можно подразумевать разные небесные тела, употребляют названия: перицентр (ближайшая к центру точка орбиты) и апоцентр (наиболее удаленная от центра точка орбиты).

Случай взаимодействия только двух небесных тел является простейшим почти не наблюдается (хотя и имеется много случаев, когда притяжением третьего, четвертого и т.д. тел можно пренебречь). В действительности все обстоит намного сложнее: на каждое тело действуют многие силы. Планеты в своем движении притягиваются не только к Солнцу, но и друг к другу. В звездных скоплениях каждая звезда притягивается всеми остальными. На движение искусственных спутников Земли оказывают влияние силы, вызываемые несферичностью фигуры Земли и сопротивлением земной атмосферы, притяжение Луны и Солнца. Эти дополнительные силы называют возмущающими, а эффекты, которые они вызывают в движении небесных тел, - возмущениями. Из-за возмущений орбиты небесных тел непрерывно медленно изменяются .

Исследованием движения небесных тел с учетом возмущающих сил занимается раздел астрономии небесная механика. Методы, разработанные в небесной механике, позволяют очень точно на много лет вперед определить положение любых тел Солнечной системы. Более сложные методы вычислений используются при исследовании движения искусственных небесных тел. Точное решение этих задач в аналитическом виде (то есть в виде формул) получить крайне сложно. Поэтому используются методы численного решения уравнений движения с применением быстродействующих электронных вычислительных машин. При таких вычислениях пользуются понятием сферы действия планеты. Сферой действия называют область околопланетного пространства, в которой при расчетах возмущенного движения тела (КА) удобно в качестве центрального тела считать не Солнце, а эту планету. В этом случае расчеты упрощаются вследствие того, что внутри сферы действия возмущающее влияние притяжения Солнца в сравнении с притяжением планеты меньше, чем возмущающее от планеты в сравнении с притяжением Солнца. Но нужно помнить, что и внутри сферы действия и за ее пределами всюду на тело действуют силы притяжения и Солнца, и планеты и других тел, хотя и в разной степени.

Радиус сферы действия зависит от расстояния между Солнцем и планетой. Орбиты небесных тел внутри сферы действия можно рассчитать на основе задачи двух тел. Если небесное тело покидает планету, то движение этого тела внутри сферы действия происходит по гиперболической орбите. Радиус сферы действия Земли равен около 1 млн. км; сфера действия Луны по отношению к Земле имеет радиус около 63 тысяч километров.

Метод определения орбиты небесного тела с использованием понятия сферы действия один из способов приближенного определения орбит. Зная приближенные величины элементов орбиты, можно с помощью других методов получить более точные значения элементов орбиты. Такое поэтапное улучшение определяемой орбиты является типичным приемом, позволяющим вычислить параметры орбиты с высокой точностью. В настоящее время круг задач по определению орбит значительно расширился, что объясняется бурным развитием ракетной и космической техники .

5.3. Упрощенная постановка задачи трех тел

Задача движения КА в гравитационном поле двух небесных тел является достаточно сложным и ее обычно исследуют численными методами. В ряде случаев оказывается допустимым упрощение этой задачи путем разделения пространства на две области, в каждой из которых учитывается притяжение только одного небесного тела. Тогда внутри каждой области пространства движение КА будет описываться известными интегралами задачи двух тел. На границы перехода из одной области в другую необходимо соответствующим образом пересчитать вектор скорости и радиус-вектор с учетом замены центрального тела.

Разделение пространства на две области можно осуществлять на основе различных допущений, которые определяют границу. В задачах небесной механики, как правило, одно небесное тело имеет массу существенно большую, чем второе. Например, Земля и Луна, Солнце и Земля или любая другая планета. Поэтому область, где предполагается движение КА по коническому сечению, в фокусе которого находится меньше притягивающее тело, занимает только небольшую часть пространства вблизи этого тела. Во всем оставшемся пространстве предполагается движение КА по коническому сечению, в фокусе которого находится большее притягивающее тело. Рассмотрим некоторые принципы разделения пространства на две области.

5.4. Сфера притяжения

Совокупность точек пространства, в котором меньшее небесное тело m 2 притягивает КА сильнее, чем большее тело m 1 , называют областью притяжения или сферой притяжения меньшего тела относительно большего. Здесь по поводу понятия сфера справедливо замечание, сделанное для сферы действия .

Пусть m 1 масса и обозначение большого притягивающего тела, m 2 масса и обозначение меньшего притягивающего тела, m 3 масса и обозначение КА.

Их взаимное расположение определяется радиусами-векторами r 2 и r 3 , которые соединяют m 1 соответственно с m 2 и m 3 .

Граница области притяжения определяется условием: |g 1 |=|g 2 | , где g 1 - гравитационное ускорение, сообщаемое КА большим небесным телом, а g 2 - гравитационное ускорение, сообщаемое КА меньшим небесным телом.

Радиус сферы притяжения рассчитывается по формуле:

где g 1 - ускорение, которое получает КА при движении в центральном поле тело m 1 , - возмущающее ускорение, которое получает КА из-за наличия притягивающего тела m 2 , g 2 - ускорение, которое получает КА при движении в центральном поле тело m 2 , - возмущающее ускорение, которое получает КА из-за наличия притягивающего тела m 1 .

Заметим, что при введении этого понятия под словом сфера сначала имеем в виду не геометрическое место точек, одинаково удаленных от центра, а область преимущественного влияния меньшего тела на движение КА, хотя граница этой области действительно близка к сфере.

Внутри сферы действия меньшее тело рассматривают в качестве центрального, а большее тело как возмущающее. Вне сферы действия за центральное принимают большее тело, а возмущающее меньшее. В ряде задач небесной механики оказывается возможным пренебречь в первом приближении влиянием на траекторию КА большего тела внутри сферы действия и меньшего тела вне этой сферы. Тогда внутри сферы действия движение КА будет происходить в центральном поле, создаваемом меньшим телом, а вне сферы действия - в центральном поле, создаваемом большим телом. Границу области (сферы) действие меньшего тела относительно большего определяют по формуле:

5.6. Сфера Хилла

Сферой Хилла называют замкнутую область пространства с центром в притягивающей точке m 2 , двигаясь внутри которой тело m 3 всегда будет оставаться спутником тела m 2 .

Сфера Хилла названа так по имени американского астронома Дж. В. Хилла, который в своих исследованиях движения Луны (1877 г.) впервые обратил внимание на существование областей пространства, куда не может попасть тело бесконечно малой массы, находящееся в гравитационном поле двух притягивающих тел.

Поверхность сферы Хилла может рассматриваться как теоретическая граница существования спутников тела m 2 . Например, радиус селеноцентрической сферы Хилла в системе Земля Луна ИСЛ составляет r = 0.00039 а.е. = 58050 км, а в системе Солнце Луна ИСЛ r = 0.00234 а.е. = 344800 км.

Радиус сферы Хилла вычисляется по формуле:

радиус сферы действия по формуле:

где R - расстояние от Эроса до Солнца,

где G - гравитационная постоянная (G = 6.6732*10 -11 Н м 2 /кг 2), r - расстояние до астероида; вторая космическая скорость равна:

Вычислим первую и вторую космические скорости для каждого значения радиуса сфер. Результаты занесем в табл.1, табл.2, табл.3.

Табл. 1. Радиусы сферы тяготения для разных расстояний Эроса от Солнца.

Табл. 2. Радиусы сферы действия для разных расстояний Эроса от Солнца.

Табл. 3. Радиусы сферы Хилла для разных расстояний Эроса от Солнца.

Радиусы сферы тяготения так малы по сравнению с размерами астероида (33*13*13 км), что в некоторых случаях граница сферы может находиться буквально на его поверхности. А вот сфера Хилла имеет настолько большие размеры, что в ней из-за влияния Солнца орбита КА будет очень неустойчивой. Получается, что КА будет искусственным спутником астероида только в том случае, если находится внутри сферы действия. Следовательно, радиус сферы действия равен максимальному расстоянию от астероида, на котором КА станет искусственным спутником. Причем значение его скорости должно быть в интервале между первой и второй космическими скоростями.

Табл. 4. Распределение космических скоростей по расстояниям от астероида.

Как видно из таблицы 4, при перемещении КА на более низкие орбиты его скорость должна увеличиться. При этом скорость должна быть все время перпендикулярной радиус-вектору.

Теперь вычислим скорость, с которой аппарат мог упасть на поверхность астероида под действием только ускорения свободного падения.

Ускорение свободного падения вычисляется по формуле:

Расстояние до поверхности возьмем равным 370 км., так как аппарат 14 февраля 2000 года вышел на эллиптическую орбиту с параметрами 323*370 км.

Итак, g = 3.25 . 10 -6 м/с 2 , скорость вычисляется по формуле: , и она будет равна V = 1.55 м/с.

Реальные факты подтверждают наши расчеты: в момент посадки скорость аппарата относительно поверхности Эроса составила 1.9 м/с.

Надо заметить, что все расчеты являются приближенными, так как мы считаем Эрос однородной сферой, что очень отличается от действительности.

Оценим погрешность вычислений. Расстояние от центра масс до поверхности астероида изменяется от 13 до 33 км. Теперь пересчитаем ускорение свободного падения и скорость, но расстояние до поверхности возьмем равным 337 км. (370 - 33).

Итак, g" = 3.92 . 10 -6 м/с 2 , а скорость V" = 1.62 м/с.

Погрешность вычислений ускорения свободного падения равна = 0.67 . 10 -6 м/с 2 , а погрешность вычислений скорости равна = 0.07 м/с.

Итак, если бы астероид Эрос находился бы на среднем расстоянии от Солнца, то КА NEAR для выхода на орбиту потребовалось бы приблизиться к астероиду на расстояние менее 355.1 км со скоростью менее 1.58 м/с.

5. Исследования и результаты | Оглавление | Заключение >>

Определение 1

Орбита небесного тела − это траектория, по которой движется в космическом пространстве космические тела: Солнце, звезды, планеты, кометы, космические корабли, спутники, межпланетные станции и др.

Применительно к искусственным космическим аппаратам понятие “орбита” используется для тех участков траекторий, на которых они перемещаются с отключенной двигательной установкой.

Форма орбиты небесных тел. Космическая скорость

Форма орбит и скорость, с которой по ним передвигаются небесные тела, зависят, в первую очередь, от силы всемирного тяготения. При анализе передвижения небесных тел Солнечной системы во многих случаях пренебрегают их формой и строением, то есть они выступают в качестве материальных точек. Это допустимо из-за того, что расстояние между телами, как правило, во множество раз превышает своих размеров. Если принять небесное тело за материальную точку, то при анализе его перемещения применяется закон всемирного тяготения. Также зачастую рассматривают лишь 2 притягивающихся тела, опуская влияние других.

Пример 1

При исследовании траектории движения Земли вокруг Солнца можно с вероятной точностью предположить, что планета передвигается лишь под действием сил солнечного тяготения. Равно также при исследовании движения искусственного спутника планеты принимается во внимание только тяготение «своей» планеты, при этом опускается не только притяжение других планет, но и солнечное.

Замечание 1

Предыдущие упрощения позволили прийти к задаче 2 -х тел. Одно из решений данной задачи предложил И. Кеплер. А полное решение сформулировал И. Ньютон, доказавший, что одно из притягивающихся небесных тел обращается вокруг другого по орбите в форме эллипса (или окружности, частного случая эллипса), параболы либо гиперболы. В фокусе данной кривой лежит 2 -я точка.

На форму орбиты влияют следующие параметры:

• масса рассматриваемого тела;
• расстояние между ними;
• скорость, с которой одно тело движется по отношению к другому.

Если тело массой m 1 (к г) расположено на расстоянии r (м) от тела массой m 0 (к г) и передвигается в данный момент времени со скоростью υ (м / с) , тогда орбита задается постоянной:

Определение 2

Постоянная тяготения f = 6 , 673 · 10 - 11 м 3 к г - 1 с - 2 . Если h 0 − по гиперболической орбите.

Определение 3

Вторая космическая скорость − это наименьшая начальная скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно начало движение около поверхности Земли, преодолело земное притяжение и навсегда покинуло планету по параболической орбите. Она равняется 11 , 2 к м / с.

Определение 4

Первой космической скоростью называют наименьшую начальную скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником планеты Земля. Она равняется 7 , 91 к м / с.

Большинство тел Солнечной системы перемещается по эллиптическим траекториям движения. Только лишь некоторые маленькие тела Солнечной системы такие, как кометы, вероятно перемещаются по параболическим или гиперболическим траекториям. Таким образом, межпланетные станции отправляются по гиперболической орбите по отношению к Земле; потом они перемещаются по эллиптическим траекториям по отношению к Солнцу в направлении к точке назначения.

Определение 5

Элементы орбиты − величины, с помощью которых определяются размеры, форма, положение, ориентация орбиты в пространстве и расположение небесного тела на ней.

У некоторых характерных точек орбит небесных тел есть собственные наименования.

Определение 6

Ближайшая к Солнцу точка орбиты небесного тела, передвигающегося вокруг Солнца, называется Перигелий (рисунок 1).

А самая удаленная − Афелий .

Ближайшая точка орбиты к планете Земля − Перигей , а самая дальняя − Апогей .

В более обобщенных задачах, в которых под притягивающим центром подразумевают различные небесные тела, употребляется название ближайшей к центру Земли точки орбиты − перицентр и самой отдаленной от центра точки орбиты − апоцентр .

Рисунок 1 . Точки орбиты небесных тел по отношению к Солнцу и Земле

Случай с 2 -мя небесными телами является самым простым и практически не встречается (хотя есть множество случаев, когда притяжением 3 -го, 4 -го и т.д. тел пренебрегают). На самом деле картина гораздо сложнее: каждое небесное тело находится под влиянием многих сил. При передвижении планеты притягиваются не только к Солнцу, но и друг к другу. В звездных скоплениях звезды притягиваются между собой.

Определение 7

Движение искусственных спутников находится под влиянием таких сил, как несферичность фигуры Земли и сопротивление земной атмосферы, а также притяжение Солнца и Луны. Данные дополнительные силы называются возмущающими . А эффекты, которые они создают при движении небесных тел, именуются возмущениями . Вследствие действия возмущений орбиты небесных тел постоянно медленно меняются.

Определение 8

Небесная механика − раздел в астрономии, который занимается изучением движения небесных тел с учетом возмущений.

С помощью методов небесной механики можно с высокой точностью и на много лет наперед определить расположение небесных тел в Солнечной системе. Более сложные вычислительные методы применяются при изучении траектории движения искусственных небесных тел. Точное решение подобных задач в виде математических формул получить очень трудно. Поэтому для решения сложных уравнений используют быстродействующие электронно-вычислительные машины. Для этого необходимо знание понятия сферы действия планеты.

Определение 9

Сфера действия планеты − это область околопланетного (окололунного) пространства, в которой при расчете возмущений в движении тела (спутника, кометы или межпланетного космического корабля) в качестве центрального тела принимается не Солнце, а эта планета (Луна).

Вычисления упрощаются из-за того, что внутри сферы действия возмущения от влияния солнечного притяжения по сравнению с планетным притяжением меньше, чем возмущение от планеты по сравнению с солнечным притяжением. Однако, не нужно забывать, что внутри сферы действия планеты и за ее пределами на тело оказывают влияние силы солнечного притяжения, а также планет и других небесных тел в той или иной степени.

Радиус сферы действия вычисляется исходя из расстояния между Солнцем и планетой. Орбиты небесных тел внутри сферы рассчитываются на основании задачи 2 -х тел. Если тело покидает планету, тогда его движение внутри сферы действия осуществляется по гиперболической орбите. Радиус сферы действия планеты Земля равняется примерно 1 м л н. к м. ; сфера действия Луны по отношению к Земле имеет радиус примерно 63 т ы с я ч и к м.

Способ определения орбиты небесного тела с помощью сферы действия является одним из методов приближенного определения орбит. Если известны приближенные величины элементов орбиты, тогда можно при помощи других методов получить более высокоточные значения элементов орбиты. Поэтапное улучшение определяемой орбиты − типичный прием, который позволяет вычислить параметры орбиты с большой точностью. Круг современных задач по определению орбит существенно увеличился, что объясняется стремительным развитием ракетной и космической техники.

Пример 2

Необходимо определить, во сколько раз масса Солнца превышает массу Земли, если известен период обращения Луны вокруг Земли 27 , 2 с у т. , а среднее расстояние ее от Земли 384 000 к м.

Дано: T = 27 , 2 с у т. , a = 3 , 84 · 10 5 к м.

Найти: m с m з - ?

Решение

Приведенные выше упрощения сводят нас к задаче 2 -х тел. Одно из решений данной задачи предложил И. Кеплер, а полное решение сформулировал И. Ньютон. Воспользуемся данными решениями.

T з = 365 с у т − период обращения Земли вокруг Солнца.

a з = 1 , 5 · 10 8 к м − среднее расстояние от Земли до Солнца.

При решении будем руководствоваться формулой закона И. Кеплера с учетом 2 -го закона И. Ньютона:

m с + m з m з + m · T 3 2 T 2 = a 3 3 a 3 .

Зная, что масса Земли по сравнению с массой Солнца и масса Луны по сравнению с массой Земли очень малы, запишем формулу в виде:

m с m з · T 3 2 T 2 = a 3 3 a 3 .

Из этого выражения находим искомое соотношение масс:

m с m з = a 3 3 a 3 · T 3 2 T 2 .

Ответ: m с m з = 0 , 3 · 10 6 к г.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Кеплерово движение космического аппарата в точности никогда не может осуществляться. Притягивающее небесное тело не может обладать точной сферической симметрией, и, следовательно, его поле тяготения не является, строго говоря, центральным. Необходимо учитывать притяжение других небесных тел и влияние иных факторов. Но кеплерово движение настолько просто и так хорошо изучено, что бывает удобно даже при отыскании точных траекторий не отказываться полностью от рассмотрения кеплеровой орбиты, а по возможности уточнить ее. Кеплерова орбита рассматривается как некая опорная орбита, но учитываются возмущения, т. е. искажения, которые орбита претерпевает от притяжения того или иного тела, светового давления, сплюснутости Земли у полюсов и т. д. Такое уточненное движение называют возмущенным движением, а соответствующее кеплерово движение - невозмущенным.

Возмущения орбиты могут вызываться не только природными силами. Их источником может быть также двигатель малой тяги (например, электроракетный или солнечно-парусный), помещенный на борту космического аппарата или спутника Земли.

Остановимся несколько подробнее на том, как вычисляются гравитационные возмущения со стороны небесных тел. Рассмотрим, например, возмущение Солнцем геоцентрического движения космического аппарата. Его учет совершенно аналогичен учету градиента земной гравитации при рассмотрении движений относительно спутника Земли (§ 3 настоящей главы).

Пусть космический аппарат находится на линии Земля - Солнце на расстоянии от Земли и 149 100 000 км от Солнца (среднее расстояние Земли от Солнца составляет По формуле (2) в § 2 гл. 2 и значениям величины приведенным в § 4 гл. 2, мы можем вычислить гравитационные ускорения космического аппарата от Земли и от Солнца. Первое из них равно второе - Ускорение от Солнца оказалось больше, чем ускорение от Земли. Это, однако, не значит, что аппарат уйдет от Земли и будет захвачен Солнцем. В самом деле, ведь нас интересует геоцентрическое движение аппарата, а вмешательство Солнца в это движение выражается возмущением, которое может быть вычислено как разность между тем ускорением, которое Солнце сообщает аппарату, и тем, которое оно сообщает Земле. Первое мы уже вычислили, а второе равно

Значит, возмущающее ускорение равно всего лишь или 2,5% ускорения, сообщаемого Землей. Как видим, вмешательство Солнца в «земные дела», в геоцентрическое движение совсем невелико (рис. 19).

Допустим теперь, что нас интересует движение аппарата относительно Солнца - гелиоцентрическое движение. Теперь главным, «центральным» гравитационным ускорением является ускорение от Солнца а возмущающим - разность между ускорением, сообщаемым Землей аппарату, и ускорением, сообщаемым Землей Солнцу.

Рис. 19. Расчет возмущений от Земли и от Солнца.

Первое равно а второе составляет ничтожную величину Земля почти не действует на Солнце, и гелиоцентрическое движение аппарата можно попросту считать абсолютным, а не относительным (этого и следовало ожидать ввиду колоссальности массы Солнца). Итак, возмущающее ускорение равно все той же величине т. е. составляет 26,7% главного, «центрального» ускорения - от Солнца. Вмешательство Земли в «солнечные дела» оказалось довольно существенным!

Теперь ясно, что гораздо больше оснований рассматривать движение космического аппарата, находящегося в выбранной нами точке пространства, как кеплерово движение относительно Земли, чем как кеплерово движение относительно Солнца. В первом случае мы не учтем возмущение, составляющее 2,5%, а во втором - 26,7% от «центрального» ускорения.

Если мы теперь расположим космический аппарат в точке на линии Земля - Солнце на расстояниях от Земли и от Солнца, то обнаружим обратную картину (предоставляем читателю самому проделать необходимые расчеты). В этом случае возмущение Солнцем геоцентрического движения составляет 68,3% ускорения, сообщаемого Землей, а возмущение Землей гелиоцентрического движения не составляет и 3%

ускорения, сообщаемого Солнцем. Очевидно, разумнее считать теперь аппарат находящимся во власти Солнца и рассматривать его движение как кеплерово с фокусом в центре Солнца.

Аналогичные рассуждения и расчеты могут быть проделаны для всех точек пространсгва (при этом для точек, не лежащих на прямой Земля - Солнце, придется брать векторную разность ускорений). Каждая точка при этом будет отнесена или к некоторой области, окружающей Землю, где выгоднее рассматривать геоцентрическое движение, или ко всему остальному пространству, где кеплеровы траектории будут гораздо более точны, если за центр притяжения принять Солнце.

Математический анализ показывает, что граница указанной области очень близка к сфере (несколько приплюснутой со стороны Солнца и «припухлой» с противоположной стороны). Принято для простоты расчетов считать эту область в точности сферой и называть сферой действия Земли.

Радиус сферы действия планеты может быть вычислен по формуле, пригодной для любых двух тел и определяющей радиус сферы действия тела с малой массой (например, планеты) относительно тела с большой мамой (например, Солнца):

где а - расстояние между телами 11.38, 1.391.

Радиус сферы действия Земли относительно Солнца равен сферы действия Луны относительно Земли Солнца относительно Галактики (вся масса которой предполагается сосредоточенной в ее ядре) , т. е. около 1 светового года год

При переходе космического аппарата через границу сферы действия приходится переходить от одного центрального поля тяготения к другому. В каждом поле тяготения движение рассматривается, естественно, как кеплерово, т. е. как происходящее по какому-либо из конических сечений - эллипсу, параболе или гиперболе, причем на границе сферы действия траектории по определенным правилам сопрягаются, «склеиваются» (как это делается, мы увидим в третьей и четвертой частях книги). В этом заключается приближенный метод расчета космических траекторий, который иногда называют методом сопряженных конических сечений.

Единственный смысл понятия сферы действия заключается именно в границе разделения двух кеплеровых траекторий. В частности, сфера действия планеты вовсе не совпадает с той областью

пространства, в которой планета способна вечно удерживать свой спутник . Эта область называется сферой Хилла для планеты относительно Солнца.

Внутри сферы Хилла тело может находиться неограниченно долго несмотря на возмущения со стороны Солнца, если только в начальный момент оно имело эллиптическую планетоцентрическую орбиту. Эта сфера больше сферы действия.

Сфера Хилла для Земли относительно Солнца имеет радиус 1,5 млн. км.

Радиус сферы Хилла для Солнца относительно Галактики составляет 230 000 а. е. Таков этот радиус, если обращение по орбите вокруг Солнца происходит в ту же сторону, что и движение Солнца вокруг центра Галактики (движение естественных планет Солнечной системы именно таково). В противном случае он равен 100 000 а. е.

В отличие от сферы действия и от сферы Хилла, сфера притяжения планеты относительно Солнца, определяемая как область, на границе которой попросту равны гравитационные ускорения от планеты и от Солнца, не играет никакой роли в космодинамике.

Луна находится глубоко внутри сферы действия Земли. Поэтому мы предпочитаем рассматривать геоцентрическое движение Луны и считать ее спутником Земли. Мы отказываемся считать Луну самостоятельной планетой ввиду слишком больших гравитационных возмущений ее гелиоцентрического движения со стороны Земли. Любопытно, что орбита Луны лежит вне сферы притяжения Земли (имеющей радиус примерно Луна сильнее притягивается Солнцем, чем Землей.

При использовании приближенного метода расчета космических траекторий основные погрешности накапливаются при расчете движения в районе границы сферы действия. Поэтому некоторые авторы считают, что для большинства случаев расчета более высокие точности дают области разграничения между центральными полями тяготения, определяемые иначе, чем это сделано выше. Предлагалось, например, считать соответствующую область вокруг Земли имеющей радиус 3-4 млн. км . На основании энергетических соображений для подобной сферы влияния выводился радиус, равный

Сфера действия и сфера влияния могут быть названы динамическими гравитационными сферами, а сфера притяжения - статической гравитационной сферой. Использование последней в космодинамике имело бы смысл только в том случае, если бы можно

было представить себе космический полет между двумя неподвижными небесными телами.

Заметим в заключение, что метод сопряженных конических сечений, связанный с теми или иными динамическими гравитационными сферами, не является единственным приближенным методом расчета космических траекторий. Продолжаются поиски других приближенных методов, более точных, чем описанный, и в то же время требующих меньшего числа вычислений, чем метод численного интегрирования. Увы, приходится экономить время работы даже самых быстродействующих электронных вычислительных машин!

Гравитационные сферы планет Солнечной системы

В космических системах разнокалиберные центры гравитации обеспечивают целостность и устойчивость всей системы и безаварийное функционирование ее структурных элементов. У звезд, планет, планетарных спутников и даже у крупных астероидов существуют зоны, в которых величина их гравитационного поля становится доминирующей над гравитационным полем более массивного центра гравитации. Эти зоны можно разделить на область доминирования главного центра гравитации космической системы и 3 вида областей у локальных центров гравитации (звезд, планет, планетарных спутников): сфера тяготения, сфера действия и сфера Хилла. Для расчета параметров этих зон необходимо знать расстояния от центров гравитации и их массы. В табл.1 представлены параметры гравитационных зон планет Солнечной системы.

Таблица 1. Гравитационные сферы планет Солнечной системы.

Космические объекты	Расстояние до Солнца, м	К = М пл / М с	Сфера тяготения, м	Сфера действия,	Сфера Хилла,
Меркурий	0,58 · 10 11	0,165 ·10 -6	0,024 · 10 9	0,11 · 10 9	0,22 · 10 9
Венера	1,082 · 10 11	2,43 ·10 -6	0,17 · 10 9	0,61· 10 9	1,0 · 10 9
Земля	1,496 · 10 11	3,0 · 10 -6	0,26 · 10 9	0,92 · 10 9	1,5 · 10 9
Марс	2,28 · 10 11	0,32 ·10 -6	0,13 · 10 9	0,58 · 10 9	1,1 · 10 9
Юпитер	7,783·10 11	950 ·10 -6	24 · 10 9	48 · 10 9	53 · 10 9
Сатурн	14,27·10 11	285 · 10 -6	24 · 10 9	54 · 10 9	65 · 10 9
Уран	28,71 ·10 11	43,3 10 -6	19 · 10 9	52 · 10 9	70 · 10 9
Нептун	44,941·10 11	51,3 ·10 -6	32 · 10 9	86 · 10 9	116 · 10 9

Сфера тяготения планеты (структурного элемента Солнечной системы) – это область пространства, в котором притяжением звезды можно пренебречь, а планета является основным центром гравитации. На границе области тяготения (притяжения) напряженность гравитационного поля планеты (ускорение свободного падения g) равно напряженности гравитационного поля звезды. Радиус сферы тяготения планеты равен

R т = R K 0.5

где
R – расстояние от центра звезды до центра планеты
K = М пл / М с
М пл – масса планеты
М с – масса Солнца

Сфера действия планеты – это область пространства, в котором сила притяжения планеты меньше, но соизмерима с силой притяжения своей звезды, т.е. напряженность гравитационного поля планеты (ускорение свободного падения g) не намного меньше напряженности гравитационного поля звезды. При расчетах траекторий физических тел в сфере действия планеты центром гравитации считают планету, а не ее звезду. Влияние гравитационного поля звезды на орбиту физического тела называют возмущением его траектории. Радиус сферы действия планеты равен

R д = R K 0.4

Сфера Хилла – область пространства, в которой естественные спутники планеты имеют стабильные орбиты и не могут перейти на около звездную орбиту. Радиус сферы Хилла равен

R х = R (K/3) 1/3

Радиус сферы тяготения