Sustavni pristup modeliranju. Pojam stanja sustava Osnovni pojmovi i definicije
Biomedicinski značaj teme
Termodinamika je grana fizikalne kemije koja proučava sve makroskopske sustave čije su promjene stanja povezane s prijenosom energije u obliku topline i rada.
Kemijska termodinamika je teorijska osnova bioenergije - znanosti o transformacijama energije u živim organizmima i specifičnostima transformacije jedne vrste energije u drugu u procesu života. U živom organizmu postoji bliska povezanost između procesa metabolizma i energije. Metabolizam je izvor energije za sve životne procese. Provedba bilo koje fiziološke funkcije (kretanje, održavanje stalne tjelesne temperature, izlučivanje probavnih sokova, sinteza u tijelu raznih složenih tvari iz jednostavnijih itd.) zahtijeva utrošak energije. Izvor svih vrsta energije u tijelu su hranjive tvari (bjelančevine, masti, ugljikohidrati), čija se potencijalna kemijska energija tijekom metaboličkog procesa pretvara u druge vrste energije. Glavni način oslobađanja kemijske energije potrebne za održavanje vitalne aktivnosti tijela i provođenje fizioloških funkcija su oksidativni procesi.
Kemijska termodinamika omogućuje uspostavljanje veze između troškova energije kada osoba obavlja određeni posao i kalorijskog sadržaja hranjivih tvari, te omogućuje razumijevanje energetske suštine biosintetskih procesa koji se javljaju zbog energije koja se oslobađa tijekom oksidacije hranjivih tvari.
Poznavanje standardnih termodinamičkih veličina za relativno mali broj spojeva omogućuje izvođenje termokemijskih proračuna energetskih karakteristika različitih biokemijskih procesa.
Primjenom termodinamičkih metoda moguće je kvantificirati energiju strukturnih transformacija proteina, nukleinskih kiselina, lipida i bioloških membrana.
U praktičnom radu liječnika termodinamičke metode najviše se koriste za određivanje intenziteta bazalnog metabolizma u različitim fiziološkim i patološkim stanjima organizma, kao i za određivanje kalorijskog sadržaja prehrambenih proizvoda.
Problemi kemijske termodinamike
1. Određivanje energetskih učinaka kemijskih i fizikalno-kemijskih procesa.
2. Utvrđivanje kriterija za spontano odvijanje kemijskih i fizikalno-kemijskih procesa.
3. Uspostavljanje kriterija za ravnotežno stanje termodinamičkih sustava.
Osnovni pojmovi i definicije
Termodinamički sustav
Tijelo ili skupina tijela odvojena od okoline stvarnim ili imaginarnim sučeljem naziva se termodinamički sustav.
Ovisno o sposobnosti sustava za izmjenu energije i tvari s okolinom, razlikuju se izolirani, zatvoreni i otvoreni sustavi.
Izolirano Sustav je sustav koji ne razmjenjuje niti materiju niti energiju s okolinom.
Sustav koji izmjenjuje energiju s okolinom, a ne izmjenjuje materiju naziva se zatvoreno.
Otvoreni sustav je sustav koji izmjenjuje i materiju i energiju s okolinom.
Stanje sustava, standardno stanje
Stanje sustava određeno je ukupnošću njegovih fizikalnih i kemijskih svojstava. Svako stanje sustava karakteriziraju određene vrijednosti ovih svojstava. Ako se ta svojstva mijenjaju, tada se mijenja i stanje sustava, ali ako se svojstva sustava ne mijenjaju tijekom vremena, tada je sustav u stanju ravnoteže.
Za usporedbu svojstava termodinamičkih sustava potrebno je točno navesti njihovo stanje. U tu svrhu uveden je pojam - standardno stanje, za koje se pojedinačna tekućina ili krutina uzima kao agregatno stanje u kojem se nalazi pri tlaku od 1 atm (101315 Pa) i zadanoj temperaturi.
Za plinove i pare standardno stanje odgovara hipotetskom stanju u kojem se plin pod tlakom od 1 atm pokorava zakonima idealnih plinova pri danoj temperaturi.
Vrijednosti koje se odnose na standardno stanje pišu se s indeksom “o”, a indeks označava temperaturu, najčešće 298K.
Jednadžba stanja
Jednadžba koja uspostavlja funkcionalni odnos između vrijednosti svojstava koja određuju stanje sustava naziva se jednadžba stanja.
Ako je jednadžba stanja sustava poznata, tada za opisivanje njegovog stanja nije potrebno znati numeričke vrijednosti svih svojstava sustava. Na primjer, Clapeyron-Mendeleev jednadžba je jednadžba stanja idealnog plina:
gdje je P tlak, V volumen, n broj molova idealnog plina, T njegova apsolutna temperatura i R univerzalna plinska konstanta.
Iz jednadžbe proizlazi da je za određivanje stanja idealnog plina dovoljno znati numeričke vrijednosti bilo koje tri od četiri veličine P, V, n, T.
Statusne funkcije
Svojstva čije vrijednosti pri prijelazu sustava iz jednog stanja u drugo ovise samo o početnom i konačnom stanju sustava i ne ovise o putu prijelaza nazivamo funkcijama stanja. To uključuje, na primjer, tlak, volumen, temperaturu sustava.
Procesi
Prijelaz sustava iz jednog stanja u drugo naziva se proces. Ovisno o uvjetima nastanka, razlikuju se sljedeće vrste procesa.
Kružni ili ciklički– proces, kao rezultat kojeg se sustav vraća u prvobitno stanje. Nakon završetka kružnog procesa, promjene bilo koje funkcije stanja sustava jednake su nuli.
Izotermna– proces koji se odvija pri konstantnoj temperaturi.
Izobarni– proces koji se odvija pri konstantnom tlaku.
Izohorski– proces u kojem volumen sustava ostaje konstantan.
Adijabatski– proces koji se odvija bez izmjene topline s okolinom.
Ravnoteža– proces koji se smatra kontinuiranim nizom ravnotežnih stanja sustava.
Neravnoteža– proces u kojem sustav prolazi kroz neravnotežna stanja.
Reverzibilni termodinamički proces– proces nakon kojeg se sustav i sustavi u interakciji s njim (okolinom) mogu vratiti u početno stanje.
Ireverzibilni termodinamički proces– proces nakon kojeg se sustav i sustavi u interakciji s njim (okolinom) ne mogu vratiti u početno stanje.
Potonji koncepti se detaljnije raspravljaju u odjeljku “Termodinamika kemijske ravnoteže”.
Teorija sustava i analiza sustava Tema 6. Stanje i funkcioniranje sustava Karasev E. M., 2014.
Sadržaj predavanja 1. 2. 3. 4. 5. Stanje sustava Statička i dinamička svojstva dinamičkih sustava Prostor stanja Stabilnost dinamičkih sustava Zaključci Karasev E. M., 2014.
1. Stanje sustava Sustav je kreiran kako bi se dobile željene vrijednosti (stanja) njegovih ciljanih izlaza. Stanje izlaza sustava ovisi o: o vrijednostima (stanjima) ulaznih varijabli; o početno stanje sustava; o funkcije sustava. Jedan od glavnih zadataka analize sustava je uspostavljanje uzročno-posljedičnih odnosa između izlaza sustava i njegovih ulaza i stanja. Karasev E. M., 2014
1. Status sustava. Procjena stanja Stanje sustava u određenoj vremenskoj točki skup je njegovih bitnih svojstava u toj vremenskoj točki. Kada se opisuje stanje sustava, potrebno je govoriti o: o stanju ulaza; o unutarnje stanje; o stanje izlaza sustava. Karasev E. M., 2014
1. Status sustava. Procjena stanja Stanje ulaza sustava je predstavljeno vektorom vrijednosti ulaznih parametara: X=(x 1, x 2, ..., xn) i zapravo je odraz stanja okoline. Interno stanje sustava predstavljeno je vektorom vrijednosti njegovih internih parametara (parametara stanja): Z = (z 1, z 2, ..., zv) i ovisi o stanju ulaza X i početno stanje sustava Z 0: Z = F (Z 0, X). Karasev E. M., 2014
1. Status sustava. Procjena stanja Interno stanje se praktički ne može promatrati, ali se može procijeniti iz stanja izlaza (vrijednosti izlaznih varijabli) sustava Y = (y 1, y 2, ..., ym) zbog ovisnost Y = F 2(Z). U ovom slučaju, trebali bismo govoriti o izlaznim varijablama u širem smislu: ne samo same izlazne varijable, već i karakteristike njihove promjene mogu djelovati kao koordinate koje odražavaju stanje sustava: brzina, ubrzanje itd. Karasev E. M., 2014.
1. Status sustava. Procjena stanja Dakle, unutarnje stanje sustava S u trenutku t može se karakterizirati skupom vrijednosti njegovih izlaznih koordinata i njihovih izvoda u ovom trenutku: St=(Yt, Y’’t, …). Međutim, treba napomenuti da izlazne varijable ne odražavaju potpuno, dvosmisleno i nepravodobno stanje sustava. Karasev E. M., 2014
1. Status sustava. Proces Ako je sustav sposoban prijeći iz jednog stanja u drugo (na primjer, S 1 -> S 2 -> S 3> ...), tada se kaže da ima ponašanje i da se u njemu odvija proces. Proces je sekvencijalna promjena stanja. U slučaju kontinuirane promjene stanja imamo: P=S(t), au diskretnom slučaju: P=(St 1, St 2, …, ). Karasev E. M., 2014
1. Status sustava. Proces U odnosu na sustav mogu se razmatrati dvije vrste procesa: o o vanjski proces - sekvencijalna promjena utjecaja na sustav, tj. sekvencijalna promjena stanja okoline; interni proces je sekvencijalna promjena stanja sustava, koja se promatra kao proces na izlazu iz sustava. Karasev E. M., 2014
1. Status sustava. Statički i dinamički sustavi Statički sustav je sustav čije se stanje praktički ne mijenja tijekom određenog razdoblja njegovog postojanja. Dinamički sustav je sustav koji mijenja svoje stanje tijekom vremena. Pojašnjenje definicije: sustav čiji se prijelaz iz jednog stanja u drugo ne događa trenutno, već kao rezultat nekog procesa, naziva se dinamičkim. Karasev E. M., 2014
1. Status sustava. Funkcija sustava Svojstva sustava očituju se ne samo vrijednostima izlaznih varijabli, već i njegovom funkcijom, stoga je određivanje funkcija sustava jedan od glavnih zadataka njegove analize i projektiranja. Pojam funkcije ima različite definicije: od općefilozofskih do matematičkih. Karasev E. M., 2014
1. Status sustava. Funkcija sustava Opći filozofski koncept. Funkcija je vanjska manifestacija svojstava predmeta. Sustav može biti jedno- ili višenamjenski. Ovisno o stupnju utjecaja na vanjsko okruženje i prirodi interakcije s drugim sustavima, funkcije se mogu raspodijeliti u sve veće redove: 1. pasivno postojanje, materijal za druge sustave; 2. održavanje sustava višeg reda; 3. suprotstavljanje drugim sustavima, okolini; 4. apsorpcija (ekspanzija) drugih sustava i okoline; 5. transformacija drugih sustava i okruženja. Karasev E. M., 2014
1. Status sustava. Funkcija sustava Matematički koncept. Element skupa Ey proizvoljne prirode naziva se funkcija elementa x definiranog na skupu Ex proizvoljne prirode ako svaki element x iz skupa Ex odgovara jednom elementu y iz Ey. Karasev E. M., 2014
1. Status sustava. Funkcija sustava Kibernetski koncept. Funkcija sustava je metoda (pravilo, algoritam) za pretvaranje ulaznih informacija u izlazne. Funkcija dinamičkog sustava može se prikazati logičko-matematičkim modelom koji povezuje ulazne (X) i izlazne (Y) koordinate sustava, "ulazno-izlazni" model: Y=F(X), gdje je F operator koji se zove operativni algoritam. Karasev E. M., 2014
1. Status sustava. Funkcija sustava U kibernetici se široko koristi koncept "crne kutije" - kibernetički model u kojem se ne uzima u obzir unutarnja struktura objekta (ili se o njoj ništa ne zna). U ovom slučaju, svojstva objekta prosuđuju se samo na temelju analize njegovih ulaza i izlaza. Ponekad se koncept "sive kutije" koristi kada se još uvijek nešto zna o unutarnjoj strukturi objekta. Zadatak analize sustava je upravo “osvijetliti” kutiju – crno pretvoriti u sivo, a sivo u bijelo. Karasev E. M., 2014
1. Status sustava. Funkcioniranje sustava Funkcioniranje se smatra procesom kojim sustav ostvaruje svoje funkcije. S kibernetičke točke gledišta: Funkcioniranje sustava je proces obrade ulaznih informacija u izlaz. Matematički, funkcioniranje sustava može se napisati na sljedeći način: Y(t) = F(X(t)), tj. funkcioniranje sustava opisuje kako se mijenja stanje sustava kada se mijenja stanje njegovih ulaza. Karasev E. M., 2014
1. Status sustava. Stanje funkcije sustava Funkcija sustava je njegovo svojstvo, stoga možemo govoriti o stanju sustava u određenom trenutku vremena, ukazujući na njegovu funkciju koja je važeća u tom trenutku vremena. Dakle, stanje sustava može se promatrati u dva aspekta: o stanje njegovih parametara i o stanje njegove funkcije, koja pak ovisi o stanju strukture i parametara: St=(At, Ft) =( At, (Stt, At)) Karasev E.M., 2014
1. Status sustava. Stanje funkcije sustava Sustav se naziva stacionarnim ako se njegova funkcija praktički ne mijenja tijekom određenog razdoblja njegovog postojanja. Za stacionarni sustav odgovor na isti udar ne ovisi o trenutku primjene tog udara. Sustav se smatra nestacionarnim ako se njegova funkcija mijenja tijekom vremena. Nestacionarnost sustava očituje se njegovim različitim reakcijama na iste poremećaje primijenjene u različitim vremenskim razdobljima. Razlozi nestacionarnosti sustava leže u njemu i sastoje se u promjenama funkcije sustava: strukture (St) i/ili parametara (A). Karasev E. M., 2014
1. Status sustava. Stanje funkcije sustava Stacionarnost sustava u užem smislu: Sustav se naziva stacionarnim ako se svi unutarnji parametri ne mijenjaju tijekom vremena. Nestacionarni sustav je sustav s promjenjivim unutarnjim parametrima. Karasev E. M., 2014
1. Status sustava. Režimi dinamičkog sustava Režim ravnoteže (ravnotežno stanje, stanje ravnoteže) je stanje dinamičkog sustava u kojem se može zadržati koliko god se želi bez vanjskih ometajućih utjecaja ili pod stalnim utjecajima. Napomena: za ekonomske i organizacijske sustave koncept "ravnoteže" je prilično uvjetno primjenjiv. Karasev E. M., 2014
1. Status sustava. Načini rada dinamičkog sustava Pod prijelaznim režimom (procesom) podrazumijeva se proces kretanja dinamičkog sustava iz nekog početnog stanja u bilo koji njegov stacionarni način - ravnotežni ili periodički. Periodički režim je režim u kojem sustav doseže ista stanja u pravilnim intervalima. Karasev E. M., 2014
2. Statička i dinamička svojstva dinamičkih sustava Na temelju ovisnosti objekta modeliranja o vremenu razlikuju se statičke i dinamičke karakteristike sustava koje se odražavaju u odgovarajućim modelima. Statički modeli (statički modeli) odražavaju funkciju sustava – specifično stanje stvarnog ili projektiranog sustava ili odnos njegovih parametara koji se ne mijenjaju tijekom vremena. Karasev E. M., 2014
2. Statička i dinamička svojstva dinamičkih sustava Dinamički modeli (modeli dinamike) odražavaju funkcioniranje sustava – proces promjene stanja realnog ili projektiranog sustava. Prikazuju razlike između stanja, redoslijed promjena stanja i razvoj događaja kroz vrijeme. Glavna razlika između statičkih i dinamičkih modela je razmatranje vremena: u statici ono naizgled ne postoji, ali u dinamici ono je glavni element. Karasev E. M., 2014
2. 1 Statičke karakteristike sustava U užem smislu, statičke karakteristike sustava mogu uključivati njegovu strukturu. No, češće ih zanimaju svojstva sustava za pretvaranje ulaza u izlaze u ustaljenom stanju, kada nema promjena ni na ulaznim ni na izlaznim varijablama. takva se svojstva definiraju kao statičke karakteristike. Statička karakteristika je odnos između ulaznih i izlaznih veličina u stacionarnom stanju. Statička karakteristika može se prikazati matematičkim ili grafičkim modelom. Karasev E. M., 2014
2. 2 Dinamičke karakteristike sustava Dinamička karakteristika je odgovor sustava na poremećaj (ovisnost promjena izlaznih varijabli o ulaznim varijablama i o vremenu). Dinamička karakteristika može se prikazati: o matematičkim modelom u obliku diferencijalne jednadžbe (ili sustava jednadžbi) oblika: Karasev E. M., 2014.
2. Dinamičke karakteristike sustava pomoću matematičkog modela u obliku rješenja diferencijalne jednadžbe: grafički model koji se sastoji od dva grafa: graf promjene poremećaja tijekom vremena i graf reakcije objekta na taj poremećaj - grafički ovisnost o promjeni outputa tijekom vremena. Karasev E. M., 2014
2. 3 Elementarne dinamičke veze Kako bi se olakšao zadatak proučavanja složenog dinamičkog sustava, on je podijeljen na pojedinačne elemente i za svaki od njih sastavljene su diferencijalne jednadžbe. Za prikaz dinamičkih svojstava elemenata sustava, bez obzira na njihovu fizičku prirodu, koristi se koncept dinamičke veze. Dinamička veza je dio sustava ili element opisan određenom diferencijalnom jednadžbom. Dinamička veza može biti predstavljena elementom, skupom elemenata ili automatskim sustavom kao cjelinom. Karasev E. M., 2014
2. 3 Elementarne dinamičke veze Svaki dinamički sustav može se uvjetno rastaviti na dinamičke atome - elementarne dinamičke veze. Pojednostavljeno rečeno, elementarna dinamička veza može se smatrati vezom s jednim ulazom i jednim izlazom. Elementarna veza mora biti usmjerena veza: veza prenosi utjecaj samo u jednom smjeru - od ulaza prema izlazu, tako da promjena stanja veze ne utječe na stanje prethodne veze koja radi na ulazu. Stoga, kada se sustav dijeli na veze usmjerenog djelovanja, može se sastaviti matematički opis svake veze bez uzimanja u obzir njezinih veza s drugim vezama. Karasev E. M., 2014
2. 3 Elementarne dinamičke veze Sve veze razlikuju se po vrsti jednadžbi koje određuju karakteristike prijelaznih procesa koji u njima nastaju pri istim početnim uvjetima i istoj vrsti poremećaja. Za procjenu ponašanja elementarne veze, testni signali određenog oblika obično se dovode na njen ulaz. Najčešće se koriste sljedeće vrste uznemirujućih signala: o o o učinak koraka; impulsni utjecaj; periodični signal. Karasev E. M., 2014
2. 3 Elementarne dinamičke veze Stupnjevi udar: Poseban slučaj stupnjevitog udara je pojedinačni udar, koji se opisuje tzv. jediničnom funkcijom x(t) = 1(t): Karasev E. M., 2014.
2. 3 Elementarne dinamičke veze Impulsno djelovanje (jedinični puls ili delta funkcija) x(t) = δ(t): Treba napomenuti da: Periodični signal: bilo u obliku sinusnog vala ili u obliku kvadratnog vala . Karasev E. M., 2014
2. 4 Vrste tipičnih veza i njihove prijelazne funkcije Utjecaj na ulaz sustava uzrokuje promjenu njegovog izlaza y(t) – prijelazni proces koji se naziva prijelazna funkcija. Prijelazna (privremena) funkcija je reakcija izlazne varijable veze na promjenu ulaza. U budućnosti ćemo razmotriti tipične veze pod perturbacijom u jednom koraku. Karasev E. M., 2014
2. 4 Vrste tipičnih veza i njihove prijelazne funkcije Veza bez inercije (pojačavajuća, kapacitivna, skalirajuća ili proporcionalna) opisuje se jednadžbom: gdje je k proporcionalnost ili koeficijent pojačanja. Karasev E. M., 2014
2. 4 Vrste tipičnih karika i njihove prijelazne funkcije Inercijalna karika (aperidna, kapacitivna, relaksacijska) opisuje se diferencijalnom jednadžbom: Njegov prijelazni proces opisuje se jednadžbom: gdje je T vremenska konstanta. Karasev E. M., 2014
2. 4 Tipovi tipičnih veza i njihove prijelazne funkcije Idealna (bez inercije) diferencirajuća veza opisuje se diferencijalnom jednadžbom: U svim točkama osim nule, vrijednost y jednaka je nuli; u nultočki, y uspijeva porasti do beskonačnosti u infinitezimalnom vremenu i vratiti se na nulu. Karasev E. M., 2014
2. 4 Vrste tipičnih veza i njihove prijelazne funkcije Realna diferencirajuća veza opisuje se diferencijalnom jednadžbom, u kojoj se, za razliku od idealne veze, dodatno pojavljuje inercijalni član: Kada je veza poremećena jednim postupnim djelovanjem, proces prijelaza na linku je opisano jednadžbom: Karasev E. M., 2014
2. 4 Vrste tipičnih veza i njihove prijelazne funkcije Prava diferencirajuća veza nije elementarna - može se zamijeniti vezom dviju veza: idealne diferencirajuće i inercijalne: Karasev E. M., 2014.
2. 4 Vrste tipičnih veza i njihove prijelazne funkcije Integrirajuća veza (astatična, neutralna) opisana je diferencijalnom jednadžbom: Prijelazni proces u vezi opisan je rješenjem ove jednadžbe: Karasev E. M., 2014.
2. 4 Vrste tipičnih karika i njihove prijelazne funkcije Oscilatorna karika općenito se opisuje sljedećom jednadžbom: Oscilatorna karika se dobiva ako sadrži dva kapacitivna elementa sposobna pohraniti dvije vrste energije i međusobno izmjenjivati te rezerve. Ako se tijekom procesa titranja smanji rezerva energije koju prima karika na početku poremećaja, oscilacije se gase. U isto vrijeme: Karasev E. M., 2014
2. 4 Vrste tipičnih karika i njihove prijelazne funkcije Oscilatorna karika se općenito opisuje sljedećom jednadžbom: Ako se umjesto oscilatorne karike dobije aperiodična karika drugog reda. Karasev E. M., 2014
2. 4 Vrste tipičnih karika i njihove prijelazne funkcije Oscilatorna karika u općem obliku opisuje se sljedećom jednadžbom: Kada dobijemo konzervativnu kariku s neprigušenim oscilacijama. Karasev E. M., 2014
2. 4 Vrste tipičnih veza i njihove prijelazne funkcije Veza s čistim (transportnim) kašnjenjem ponavlja oblik ulaznog signala, ali s vremenskim kašnjenjem: gdje je τ vrijeme kašnjenja. Karasev E. M., 2014
3. Prostor stanja Budući da su svojstva sustava izražena vrijednostima njegovih izlaza, stanje sustava se može definirati kao vektor vrijednosti izlaznih varijabli Y = (y 1, ..., ym ). Stoga se ponašanje sustava (njegov proces) može prikazati kao grafikon u m-dimenzionalnom koordinatnom sustavu. Skup mogućih stanja sustava Y smatra se prostorom stanja (ili faznim prostorom) sustava, a koordinate tog prostora nazivaju se faznim koordinatama. Karasev E. M., 2014
3. Prostor stanja Točka koja odgovara trenutnom stanju sustava naziva se fazna ili reprezentirajuća točka. Fazna putanja je krivulja koju fazna točka opisuje kada se mijenja stanje neporemećenog sustava (uz stalne vanjske utjecaje). Skup faznih trajektorija koji odgovaraju svim mogućim početnim uvjetima naziva se fazni portret. Karasev E. M., 2014
3. Prostor stanja Fazna ravnina je koordinatna ravnina u kojoj su po koordinatnim osima ucrtane bilo koje dvije varijable (fazne koordinate) koje jednoznačno određuju stanje sustava. Fiksne (posebne ili stacionarne) su točke čiji se položaj u faznom portretu ne mijenja tijekom vremena. Singularne točke odražavaju položaje ravnoteže. Karasev E. M., 2014
3. Prostor stanja Pretpostavit ćemo da su vrijednosti izlazne koordinate ucrtane na apscisnoj osi fazne ravnine, a brzina njezine promjene na ordinatnoj osi. Karasev E. M., 2014
3. Prostor stanja Za fazne putanje neporemećenog sustava vrijede sljedeća svojstva: o samo jedna trajektorija prolazi kroz jednu točku fazne ravnine; o u gornjoj poluravnini prikazna točka se pomiče slijeva nadesno, u donjoj poluravnini - obrnuto; o na x-osi derivacija dy 2/dy 1=∞ posvuda osim u točkama ravnoteže, stoga fazne putanje sijeku x-os (u nesingularnim točkama) pod pravim kutom. Karasev E. M., 2014
4. Stabilnost dinamičkih sustava Stabilnost se razumijeva kao svojstvo sustava da se vrati u ravnotežno stanje ili ciklički način nakon otklanjanja poremećaja koji je uzrokovao poremećaj potonjeg. Stanje stabilnosti (stabilno stanje) je ravnotežno stanje sustava u koje se on vraća nakon uklanjanja ometajućih utjecaja. Karasev E. M., 2014
4. Stabilnost dinamičkih sustava Aleksandar Mihajlovič Ljapunov: Fiksna točka sustava a naziva se stabilnom (ili atraktorom) ako za bilo koju okolinu N točke a postoji neka manja okolina te točke N' takva da svaka putanja koja prolazi kroz N ' ostaje u N za povećanje t. Karasev E. M., 2014
4. Stabilnost dinamičkih sustava Atraktor - (od lat. attraho - privlačim k sebi) - područje stabilnosti kojem teže putanje u faznom prostoru. Fiksna točka sustava a naziva se asimptotski stabilnom ako je stabilna i, osim toga, postoji susjedstvo N te točke gdje svaka putanja koja prolazi kroz N teži a kao što t teži beskonačnosti. Karasev E. M., 2014
4. Stabilnost dinamičkih sustava Nepomična točka sustava koja je stabilna, ali nije asimptotski stabilna, naziva se neutralno stabilnom. Fiksna točka sustava koja nije stabilna naziva se nestabilna (ili repeller). Repeller (od latinskog repello - odgurujem, tjeram) je područje u faznom prostoru gdje se putanje, čak i s početkom vrlo blizu singularne točke, odbijaju od njega. Karasev E. M., 2014
Pročitajte također:
|
Stanje sustava određeno je razinama.
Razina je količina mase, energije, informacija sadržana u varijabli (bloku) ili u sustavu kao cjelini u određenom trenutku vremena.
Razine ne ostaju konstantne, prolaze kroz određene promjene. Brzina kojom se te promjene događaju naziva se tempo.
Stope određuju aktivnost, intenzitet i brzinu procesa transformacije, akumulacije, transmisije itd. materija, energija, informacije koje teku unutar sustava.
Tempo i razine su međusobno povezani, ali njihov odnos nije jasan. S jedne strane, stope generiraju nove razine, koje zauzvrat utječu na stope, tj. regulirati ih.
Na primjer, proces difuzije tvari određuje prijelaz sustava s razine x 1 na razinu x 2 (pokretačka snaga procesa prijenosa mase). Istovremeno, brzina ovog procesa (brzina prijenosa mase) ovisi o masi naznačenih razina u skladu s izrazom:
gdje je: a koeficijent prijenosa mase.
Jedna od najvažnijih karakteristika stanja sustava je povratna veza.
Povratna veza je svojstvo sustava (bloka) da reagira na promjenu jedne ili više varijabli uzrokovanu ulaznim utjecajem, na način da, kao rezultat procesa unutar sustava, ta promjena ponovno utječe na isti ili isti varijable.
Povratna veza, ovisno o načinu utjecaja, može biti izravna (kada se obrnuti utjecaj događa bez sudjelovanja varijabli (blokova) - posrednika) ili konturna (kada se obrnuti utjecaj događa uz sudjelovanje varijabli (blokova) - posrednika) (Sl. 3).
Riža. 3. Načelo povratne veze
a – izravna povratna veza; b – povratna petlja.
Ovisno o utjecaju na primarne promjene varijabli u sustavu, razlikuju se dvije vrste povratne sprege:
§ Negativna povratna informacija, tj. kada impuls primljen izvana tvori zatvoreni krug i uzrokuje slabljenje (stabilizaciju) početnog udara;
§ Pozitivna povratna informacija, tj. kada impuls primljen izvana tvori zatvoreni krug i uzrokuje povećanje početnog udara.
Negativna povratna sprega oblik je samoregulacije koja osigurava dinamičku ravnotežu u sustavu. Pozitivna povratna sprega u prirodnim sustavima obično se očituje u obliku relativno kratkotrajnih provala samodestruktivne aktivnosti.
Pretežno negativna priroda povratne sprege ukazuje na to da svaka promjena uvjeta okoline dovodi do promjene varijabli sustava i uzrokuje prijelaz sustava u novo ravnotežno stanje, različito od prvobitnog. Ovaj proces samoregulacije obično se naziva homeostaza.
Sposobnost sustava da uspostavi ravnotežu određena je još dvjema karakteristikama njegovog stanja:
§ Stabilnost sustava, tj. karakteristika koja pokazuje koja veličina promjene vanjskog utjecaja (impuls udara) odgovara dopuštenoj promjeni varijabli sustava, pri kojoj se ravnoteža može vratiti;
§ Stabilnost sustava, tj. karakteristika koja određuje najveću dopuštenu promjenu varijabli sustava pri kojoj se može uspostaviti ravnoteža.
Cilj regulacije u sustavu formuliran je u obliku ekstremnog principa (zakon maksimalne potencijalne energije): evolucija sustava ide u smjeru povećanja ukupnog protoka energije kroz sustav, au stacionarnom stanju njegova postiže se najveća moguća vrijednost (maksimalna potencijalna energija).
Sustavni pristup modeliranju
Pojam sustava. Svijet oko nas sastoji se od mnogo različitih objekata, od kojih svaki ima različita svojstva, au isto vrijeme objekti međusobno djeluju. Na primjer, objekti kao što su planeti našeg Sunčevog sustava imaju različita svojstva (masu, geometrijske dimenzije itd.) i, prema zakonu univerzalne gravitacije, međusobno djeluju sa Suncem i međusobno.
Planeti su dio većeg objekta - Sunčevog sustava, a Sunčev sustav je dio naše galaksije Mliječni put. S druge strane, planeti se sastoje od atoma raznih kemijskih elemenata, a atomi od elementarnih čestica. Možemo zaključiti da se gotovo svaki predmet sastoji od drugih predmeta, odnosno predstavlja sustav.
Važna značajka sustava je njegova holističko funkcioniranje. Sustav nije skup pojedinačnih elemenata, već skup međusobno povezanih elemenata. Na primjer, računalo je sustav koji se sastoji od raznih uređaja, a uređaji su međusobno povezani i hardverski (fizički povezani jedan s drugim) i funkcionalno (razmjenjuju se informacije između uređaja).
Sustav je zbirka međusobno povezanih objekata koji se nazivaju elementima sustava.
Stanje sustava karakterizira njegova struktura, odnosno sastav i svojstva elemenata, njihovi međusobni odnosi i veze. Sustav održava svoju cjelovitost pod utjecajem raznih vanjskih utjecaja i unutarnjih promjena sve dok svoju strukturu održava nepromijenjenom. Ako se struktura sustava promijeni (na primjer, jedan od elemenata je uklonjen), tada sustav može prestati funkcionirati kao cjelina. Dakle, ako uklonite jedan od računalnih uređaja (primjerice, procesor), računalo će otkazati, odnosno prestat će postojati kao sustav.
Statički informacijski modeli. Svaki sustav postoji u prostoru i vremenu. U svakom trenutku vremena sustav je u određenom stanju, koje karakterizira sastav elemenata, vrijednosti njihovih svojstava, veličina i priroda međudjelovanja između elemenata i tako dalje.
Dakle, stanje Sunčevog sustava u bilo kojem trenutku karakterizira sastav objekata koji su u njemu uključeni (Sunce, planeti itd.), Njihova svojstva (veličina, položaj u prostoru itd.), veličina i priroda međusobne interakcije (gravitacijske sile, uz pomoć elektromagnetskih valova itd.).
Modeli koji opisuju stanje sustava u određenom trenutku nazivaju se statički informacijski modeli.
U fizici su primjeri statičkih informacijskih modela modeli koji opisuju jednostavne mehanizme, u biologiji - modeli strukture biljaka i životinja, u kemiji - modeli strukture molekula i kristalnih rešetki i tako dalje.
Dinamički informacijski modeli. Stanje sustava se mijenja tijekom vremena, tj. procesi promjena i razvoja sustava. Dakle, planeti se kreću, njihov položaj u odnosu na Sunce i jedan prema drugome se mijenja; Sunce se, kao i svaka druga zvijezda, razvija, mijenja se njegov kemijski sastav, zračenje i tako dalje.
Modeli koji opisuju procese promjene i razvoja sustava nazivaju se dinamički informacijski modeli.
U fizici dinamički informacijski modeli opisuju kretanje tijela, u biologiji - razvoj organizama ili životinjskih populacija, u kemiji - procese kemijskih reakcija i tako dalje.
Pitanja za razmatranje
1. Čine li komponente računala sustav: Prije sastavljanja? Nakon montaže? Nakon paljenja računala?
2. Koja je razlika između statičkih i dinamičkih informacijskih modela? Navesti primjere statičkih i dinamičkih informacijskih modela.
Postoji mnogo koncepata sustava. Razmotrimo pojmove koji najpotpunije otkrivaju njegova bitna svojstva (slika 1).
Riža. 1. Pojam sustava
"Sustav je kompleks komponenti koje međusobno djeluju."
"Sustav je skup međusobno povezanih operativnih elemenata."
"Sustav nije samo skup jedinica... nego skup odnosa između tih jedinica."
I premda se pojam sustava definira na različite načine, to obično znači da je sustav određeni skup međusobno povezanih elemenata koji čine stabilno jedinstvo i cjelovitost, koji ima integralna svojstva i obrasce.
Sustav možemo definirati kao nešto cjelovito, apstraktno ili stvarno, što se sastoji od međusobno ovisnih dijelova.
Sustav mogu biti bilo koji objekti žive i nežive prirode, društva, procesa ili skupa procesa, znanstvene teorije i sl., ako definiraju elemente koji svojim vezama i međusobnim odnosima tvore jedinstvo (cjelovitost), što u konačnici stvara skup svojstava, svojstvena samo danom sustavu i koja ga razlikuje od drugih sustava (svojstvo pojavnosti).
Sustav(od grčkog SYSTEMA, što znači “cjelina sastavljena od dijelova”) je skup elemenata, veza i interakcija između njih i vanjskog okruženja, tvoreći određenu cjelovitost, jedinstvo i svrhovitost. Gotovo svaki objekt može se smatrati sustavom.
Sustav– je skup materijalnih i nematerijalnih objekata (elemenata, podsustava) objedinjenih nekom vrstom veza (informacijskih, mehaničkih itd.), dizajniran za postizanje određenog cilja i to ostvariti na najbolji mogući način. Sustav se definira kao kategorija, tj. njegovo se otkrivanje provodi identificiranjem glavnih svojstava svojstvenih sustavu. Za proučavanje sustava potrebno ga je pojednostaviti uz zadržavanje osnovnih svojstava, tj. izgraditi model sustava.
Sustav može se manifestirati kao cjeloviti materijalni objekt, predstavljajući prirodno određen skup funkcionalno međusobno povezanih elemenata.
Važno sredstvo karakterizacije sustava je njegovo Svojstva. Glavna svojstva sustava očituju se kroz cjelovitost, interakciju i međuovisnost procesa transformacije materije, energije i informacija, kroz njegovu funkcionalnost, strukturu, veze i vanjsko okruženje.
Vlasništvo– to je kvaliteta parametara objekta, tj. vanjske manifestacije metode kojom se dolazi do znanja o objektu. Svojstva omogućuju opisivanje objekata sustava. Međutim, oni se mogu promijeniti kao rezultat funkcioniranja sustava. Svojstva su vanjske manifestacije procesa kojim se dobiva znanje o objektu i ono se promatra. Svojstva daju mogućnost kvantitativnog opisa objekata sustava, izražavajući ih u jedinicama određene dimenzije. Svojstva objekata sustava mogu se promijeniti kao rezultat njegovog djelovanja.
Razlikuju se sljedeće: glavna svojstva sustava :
· Sustav je skup elemenata . Pod određenim uvjetima elementi se mogu smatrati sustavima.
· Prisutnost značajnih veza između elemenata. Pod, ispod značajne veze shvaćaju se kao oni koji prirodno i nužno određuju integrativna svojstva sustava.
· Prisutnost određene organizacije, što se očituje u smanjenju stupnja nesigurnosti sustava u odnosu na entropiju sustavotvornih čimbenika koji određuju mogućnost stvaranja sustava. Ti čimbenici uključuju broj elemenata sustava, broj značajnih veza koje element može imati.
· Dostupnost integrativnih svojstava , tj. svojstveno sustavu kao cjelini, ali nije svojstveno niti jednom od njegovih elemenata zasebno. Njihova prisutnost pokazuje da svojstva sustava, iako ovise o svojstvima elemenata, nisu njima u potpunosti određena. Sustav se ne svodi na jednostavan skup elemenata; Rastavljanjem sustava na zasebne dijelove nemoguće je spoznati sva svojstva sustava kao cjeline.
· Pojava – nesvodljivost svojstava pojedinih elemenata i svojstava sustava u cjelini.
· Integritet – ovo je svojstvo cijelog sustava, koje se sastoji u činjenici da promjena u bilo kojoj komponenti sustava utječe na sve njegove ostale komponente i dovodi do promjene u sustavu kao cjelini; obrnuto, svaka promjena u sustavu utječe na sve komponente sustava.
· Djeljivost – moguće je rastaviti sustav na podsustave kako bi se pojednostavila analiza sustava.
· Komunikacijske vještine. Svaki sustav djeluje u okruženju, doživljava utjecaj okoline i zauzvrat utječe na okolinu. Odnos okoline i sustava može se smatrati jednim od glavnih obilježja funkcioniranja sustava, vanjskom karakteristikom sustava koja uvelike određuje njegova svojstva.
· Sustav je inherentan vlasništvo za razvoj, prilagođavaju se novim uvjetima stvaranjem novih veza, elemenata sa svojim lokalnim ciljevima i sredstvima za njihovo postizanje. Razvoj– objašnjava složene termodinamičke i informacijske procese u prirodi i društvu.
· Hijerarhija. Ispod hijerarhije odnosi se na sekvencijalno razlaganje izvornog sustava na niz razina uz uspostavu odnosa podređenosti temeljnih razina prema višima. Hijerarhija sustava je da se može smatrati elementom sustava višeg reda, a svaki od njegovih elemenata, zauzvrat, je sustav.
Važno svojstvo sustava je inercija sustava, određivanje vremena potrebnog za prijenos sustava iz jednog stanja u drugo za zadane parametre upravljanja.
· Multifunkcionalnost – sposobnost složenog sustava da implementira određeni skup funkcija na zadanoj strukturi, što se očituje u svojstvima fleksibilnosti, prilagodbe i sposobnosti preživljavanja.
· Fleksibilnost – ovo je svojstvo sustava da mijenja svrhu rada ovisno o radnim uvjetima ili stanju podsustava.
· Prilagodljivost – sposobnost sustava da mijenja svoju strukturu i bira opcije ponašanja u skladu s novim ciljevima sustava i pod utjecajem čimbenika okoline. Adaptivni sustav je onaj u kojem postoji kontinuirani proces učenja ili samoorganizacije.
· Pouzdanost – Ovo je svojstvo sustava da implementira određene funkcije u određenom vremenskom razdoblju s određenim parametrima kvalitete.
· Sigurnost – sposobnost sustava da tijekom rada ne uzrokuje neprihvatljive utjecaje na tehničke objekte, osoblje i okoliš.
· Ranjivost – sposobnost oštećenja kada su izloženi vanjskim i (ili) unutarnjim čimbenicima.
· Strukturalnost – ponašanje sustava određeno je ponašanjem njegovih elemenata i svojstvima njegove strukture.
· Dinamičnost je sposobnost funkcioniranja tijekom vremena.
· Dostupnost povratnih informacija.
Svaki sustav ima svrhu i ograničenja. Cilj sustava može se opisati ciljnom funkcijom U1 = F (x, y, t, ...), gdje je U1 ekstremna vrijednost jednog od pokazatelja kvalitete funkcioniranja sustava.
Ponašanje sustava može se opisati zakonom Y = F(x), odražavajući promjene na ulazu i izlazu sustava. Ovo određuje stanje sustava.
Stanje sustava je trenutna fotografija, ili snimka sustava, zastoj u njegovom razvoju. Određuje se ili preko ulaznih interakcija ili izlaznih signala (rezultata), ili preko makroparametara, makrosvojstava sustava. Ovo je skup stanja njegovih n elemenata i veza između njih. Specifikacija određenog sustava svodi se na specifikaciju njegovih stanja, počevši od njegovog nastanka pa do njegove smrti ili prijelaza u drugi sustav. Pravi sustav ne može biti ni u kakvom stanju. Njezino stanje podliježe ograničenjima - nekim unutarnjim i vanjskim čimbenicima (na primjer, osoba ne može živjeti 1000 godina). Moguća stanja realnog sustava tvore u prostoru stanja sustava određenu poddomenu Z SD (podprostor) - skup dopuštenih stanja sustava.
Ravnoteža– sposobnost sustava da, u odsutnosti vanjskih ometajućih utjecaja ili pod stalnim utjecajima, održi svoje stanje neodređeno dugo vrijeme.
Održivost je sposobnost sustava da se vrati u stanje ravnoteže nakon što je iz tog stanja izašao pod utjecajem vanjskih ili unutarnjih ometajućih utjecaja. Ova sposobnost je svojstvena sustavima kada odstupanje ne prelazi određenu utvrđenu granicu.
3. Pojam strukture sustava.
Struktura sustava– skup elemenata sustava i veza između njih u obliku skupa. Struktura sustava označava strukturu, raspored, poredak i odražava određene odnose, međusobni položaj komponenti sustava, odn. njegovu strukturu i ne uzima u obzir mnoga svojstva (stanja) njegovih elemenata.
Sustav se može prikazati jednostavnim nabrajanjem elemenata, ali najčešće pri proučavanju objekta takav prikaz nije dovoljan, jer potrebno je otkriti što je objekt i što osigurava ispunjenje njegovih ciljeva.
Riža. 2. Struktura sustava
Pojam elementa sustava. A-priorat element- Sastavni je dio složene cjeline. U našem pojmu složena cjelina je sustav koji predstavlja cjelovit sklop međusobno povezanih elemenata.
Element- dio sustava koji je samostalan u odnosu na cijeli sustav i nedjeljiv je kod ovakvog načina razdvajanja dijelova. Nedjeljivost elementa smatra se nesvrsishodnošću uzimanja u obzir njegove unutarnje strukture unutar modela danog sustava.
Sam element karakteriziraju samo njegove vanjske manifestacije u obliku veza i odnosa s drugim elementima i vanjskom okolinom.
Koncept komunikacije. Veza– skup ovisnosti svojstava jednog elementa o svojstvima drugih elemenata sustava. Uspostavljanje veze između dva elementa znači utvrđivanje prisutnosti ovisnosti u njihovim svojstvima. Ovisnost svojstava elemenata može biti jednostrana i dvostrana.
Odnosi– skup dvosmjernih ovisnosti svojstava jednog elementa o svojstvima drugih elemenata sustava.
Interakcija– skup međuodnosa i odnosa između svojstava elemenata, kada poprimaju prirodu međusobnog djelovanja.
Pojam vanjskog okruženja. Sustav postoji među drugim materijalnim ili nematerijalnim objektima koji nisu uključeni u sustav i objedinjeni su konceptom "vanjskog okruženja" - objekti vanjskog okruženja. Ulaz karakterizira utjecaj vanjske okoline na sustav, izlaz karakterizira utjecaj sustava na vanjsku okolinu.
U biti, ocrtavanje ili identificiranje sustava je podjela određenog područja materijalnog svijeta na dva dijela, od kojih se jedan smatra sustavom - objektom analize (sinteze), a drugi - vanjskim okruženjem .
Vanjsko okruženje– skup objekata (sustava) koji postoje u prostoru i vremenu za koje se pretpostavlja da imaju učinak na sustav.
Vanjsko okruženje je skup prirodnih i umjetnih sustava za koje taj sustav nije funkcionalni podsustav.
Vrste struktura
Razmotrimo nekoliko tipičnih struktura sustava koje se koriste za opisivanje organizacijskih, ekonomskih, proizvodnih i tehničkih objekata.
Obično se pojam "strukture" povezuje s grafičkim prikazom elemenata i njihovih veza. Međutim, struktura se također može prikazati u matričnom obliku, obliku teorijskog opisa skupova, korištenjem jezika topologije, algebre i drugih alata za modeliranje sustava.
Linearno (sekvencijalno) strukturu (sl. 8) karakterizira činjenica da je svaki vrh povezan s dva susjedna. Kada barem jedan element (spoj) otkaže, struktura se uništava. Primjer takve strukture je pokretna traka.
Prsten konstrukcija (slika 9) je zatvorena; svaka dva elementa imaju dva smjera spajanja. To povećava brzinu komunikacije i čini strukturu izdržljivijom.
Stanični strukturu (slika 10) karakterizira prisutnost rezervnih veza, što povećava pouzdanost (preživljavanje) funkcioniranja strukture, ali dovodi do povećanja njezinih troškova.
Višestruko spojeno struktura (slika 11) ima strukturu potpunog grafa. Radna pouzdanost je maksimalna, radna učinkovitost je visoka zbog prisutnosti najkraćih putova, trošak je maksimalan.
Zvijezda struktura (slika 12) ima središnji čvor, koji djeluje kao središte, svi ostali elementi sustava su podređeni.
Graphovaya struktura (slika 13) obično se koristi pri opisu proizvodno-tehnoloških sustava.
Mreža struktura (neto)- vrsta strukture grafa koja predstavlja dekompoziciju sustava u vremenu.
Na primjer, mrežna struktura može odražavati redoslijed rada tehničkog sustava (telefonska mreža, električna mreža itd.), faze ljudske aktivnosti (u proizvodnji - mrežni dijagram, u dizajnu - mrežni model, u planiranju - mrežni model, mrežni plan itd. .d.).
Hijerarhijski Struktura se najčešće koristi u projektiranju sustava upravljanja; što je viša razina hijerarhije, njeni elementi imaju manje veza. Svi elementi osim gornje i donje razine imaju i zapovjedne i podređene upravljačke funkcije.
Hijerarhijske strukture predstavljaju razgradnju sustava u prostoru. Svi vrhovi (čvorovi) i veze (lukovi, bridovi) postoje u tim strukturama istovremeno (neodvojeni u vremenu).
Hijerarhijske strukture u kojima je svaki element niže razine podređen jednom čvoru (jednom vrhu) više (a to vrijedi za sve razine hijerarhije) nazivaju se nalik stablu strukture (strukture tip "drvo"; strukture na kojima se provode odnosi stabla, hijerarhijske strukture sa snažna veze) (Slika 14, a).
Strukture u kojima element niže razine može biti podređen dvama ili više čvorova (vrhova) više razine nazivaju se hijerarhijske strukture s slab veze (Slika 14, b).
U obliku hijerarhijskih struktura prikazani su projekti složenih tehničkih proizvoda i kompleksa, strukture klasifikatora i rječnika, strukture ciljeva i funkcija, proizvodne strukture i organizacijske strukture poduzeća.
Općenito, pojamhijerarhijašire, označava podređenost, redoslijed podređenosti osoba nižeg položaja i ranga višima, nastao je kao naziv “ljestvice karijere” u vjeri, naširoko se koristi za karakterizaciju odnosa u aparatu vlasti, vojsci, itd., tada je koncept hijerarhije proširen na bilo koji koordinirani poredak objekata prema subordinaciji.
Dakle, u hijerarhijskim strukturama važno je samo istaknuti razine subordinacije, a među razinama i komponentama unutar razine može postojati bilo kakav odnos. U skladu s tim, postoje strukture koje koriste hijerarhijski princip, ali imaju specifičnosti, te ih je uputno posebno istaknuti.
Učitavam...
