פתרון אי שוויון אודז'. ODZ. אזור של ערכים מקובלים. כיבוד הפרטיות שלך ברמת החברה
בעת פתרון בעיות שונות, לעתים קרובות אנו צריכים לבצע טרנספורמציות זהות של ביטויים. אבל קורה שסוג של טרנספורמציה מקובל במקרים מסוימים, אבל לא באחרים. סיוע משמעותי במונחים של מעקב אחר קבילותן של טרנספורמציות מתמשכות ניתן על ידי ODZ. בואו נסתכל על זה ביתר פירוט.
מהות הגישה היא כדלקמן: ODZ של משתנים עבור הביטוי המקורי מושווה ל-ODZ של משתנים עבור הביטוי המתקבל כתוצאה מתמורות זהות, ועל סמך תוצאות ההשוואה מוסקות מסקנות מתאימות.
באופן כללי, שינויי זהות יכולים
- אין להשפיע על DL;
- להוביל להרחבת ODZ;
- להוביל לצמצום של ODZ.
בואו נמחיש כל מקרה בדוגמה.
שקול את הביטוי x 2 +x+3·x, ה-ODZ של המשתנה x עבור ביטוי זה הוא קבוצת R. עכשיו בואו נעשה את הטרנספורמציה הזהה הבאה עם הביטוי הזה - אנו מציגים מונחים דומים, כתוצאה מכך הוא יקבל את הצורה x 2 +4·x. ברור שהמשתנה x של הביטוי הזה הוא גם קבוצה R. לפיכך, השינוי שבוצע לא שינה את ה-DZ.
בוא נמשיך הלאה. ניקח את הביטוי x+3/x−3/x. במקרה זה, ה-ODZ נקבע על ידי התנאי x≠0, המתאים לקבוצה (−∞, 0)∪(0, +∞) . גם ביטוי זה מכיל מונחים דומים, שלאחר צמצום מגיעים לביטוי x, שעבורו ה-ODZ הוא R. מה שאנחנו רואים: כתוצאה מהטרנספורמציה, ה-ODZ הורחב (המספר אפס התווסף ל-ODZ של המשתנה x עבור הביטוי המקורי).
נותר לשקול דוגמה לצמצום טווח הערכים המקובלים לאחר טרנספורמציות. בואו ניקח את הביטוי 
. ה-ODZ של המשתנה x נקבע על ידי אי השוויון (x−1)·(x−3)≥0, לפתרון שלו הוא מתאים, למשל, כתוצאה מכך יש לנו (−∞, 1]∪∪; ערוך מאת S. A. Telyakovsky. - 17- ed. - M.: Education, 2008. - 240 עמ': ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
אם ה-ODZ של משוואה מורכב ממספר סופי של ערכים, מספיק להחליף כל ערך במשוואה כדי לבדוק אם הערך הזה הוא שורש.
דוגמאות ליישום הסופי לפתרון משוואות.
הסימן של שורש זוגי חייב להיות מספר לא שלילי, אז
אי השוויון הראשון הוא ריבועי, בואו נפתור אותו. שני - .
הפתרון למערכת הוא המפגש בין הפתרונות לשני אי השוויון:
ODZ מורכב מערך בודד: (3).
נותר לבדוק אם 3 הוא שורש המשוואה:
קיבלנו את השוויון הנכון, לכן x=3 הוא השורש של המשוואה הזו.
סימן השורש הריבועי חייב להיות בעל מספר לא שלילי. מכאן ה-ODZ
שני אי השוויון הראשונים הם ריבועיים. אנו פותרים אותם בשיטת המרווחים. השלישי הוא ליניארי. נסמן את הפתרון לכל אי שוויון על קו המספרים ומוצאים את המפגש בין הפתרונות:
ODZ מורכב משני ערכים: (2; 3).
בוא נבדוק.
לפיכך, למשוואה זו יש שורש יחיד x=3.
טווח ערכי הקשת המותרים הוא המרווח הסגור בין -1 ל-1. הבסיס של חזקה עם מעריך חיובי שאינו שלם חייב להיות מספר לא שלילי. ODZ:
לפיכך, טווח הערכים המקובלים של המשוואה מורכב מערך אחד: (1). נותר לבדוק אם x=1 הוא שורש של המשוואה הזו.
תשובה 1.
אם ה-ODZ של המשוואה מורכב ממספר אחד או יותר, שיטה זו יכולה לעזור לך להתמודד עם המשימה בקלות ובמהירות.
כמו שיטות אחרות לפתרון משוואות המבוססות על תכונות של פונקציות, השימוש במספר סופי של ערכים מאפשר לעתים קרובות לפתור משימות לא סטנדרטיות מורכבות למדי. ולמרות שהוא לא מופיע לעתים קרובות בקורס אלגברה בבית הספר, כדאי לזכור אותו ולהיות מסוגל ליישם אותו.
קטגוריה: |יועץ מדעי:
1. מבוא 3
2. סקיצה היסטורית 4
3. "מקום" של ODZ בעת פתרון משוואות ואי-שוויון 5-6
4. תכונות וסכנות של ODZ 7
5. ODZ – יש פתרון 8-9
6. מציאת ODZ היא עבודה נוספת.
שוויון של מעברים 10-13
7. ODZ בבחינת המדינה המאוחדת 14-15
8. מסקנה 16
9. ספרות 17
1. הקדמה
משוואות ואי-שוויון בהם יש צורך למצוא את טווח הערכים המקובלים לא מצאו מקום במהלך האלגברה של הצגה שיטתית, וזו אולי הסיבה שבני גילי טועים לעתים קרובות בפתרון דוגמאות כאלה, מבלים זמן רב בפתרון אותם, תוך שוכחים ממגוון הערכים המקובלים. זה קבע בְּעָיָהשל העבודה הזו.
בעבודה זו נועד לחקור את תופעת קיומו של אזור בעל ערכים מקובלים בעת פתרון משוואות ואי-שוויון מסוגים שונים; לנתח מצב זה, להסיק מסקנות נכונות מבחינה לוגית בדוגמאות שבהן אתה צריך לקחת בחשבון את טווח הערכים המקובלים.
משימות:
- בהתבסס על הניסיון הקיים ובסיס תיאורטי, אסוף מידע בסיסי על מגוון הערכים המותרים והשימוש בו בפרקטיקה בבית הספר; לנתח פתרונות לסוגים שונים של משוואות ואי-שוויון (שברים-רציונליים, אי-רציונליים, לוגריתמיים, המכילים פונקציות טריגונומטריות הפכות); בדוק את התוצאות שהתקבלו קודם לכן בעת פתרון משוואות ואי-שוויון שונות, ודא את מהימנות השיטות והשיטות לפתרונן; קבע את "המקום" של טווח הערכים המקובלים בעת פתרון משוואות ואי-שוויון; יישם את חומרי המחקר שהתקבלו במצב שונה מהסטנדרטי, והשתמש בהם כהכנה לבחינת המדינה המאוחדת.
בעת פתרון הבעיות הללו, נעשה שימוש בדברים הבאים שיטות מחקר: ניתוח, ניתוח סטטיסטי, דדוקציה, סיווג, חיזוי.
הלימוד החל בחזרה על פונקציות ידועות שנלמדו בתכנית הלימודים בבית הספר. ההיקף של רבים מהם מוגבל.
טווח הערכים המקובלים מתרחש בעת פתרון: משוואות רציונליות חלקיות ואי-שוויון; משוואות ואי-שוויון לא רציונליות; משוואות ואי-שוויון לוגריתמיות; משוואות ואי-שוויון המכילות פונקציות טריגונומטריות הפוכות.
לאחר שפתרנו דוגמאות רבות ממקורות שונים (ספרי לימוד USE, ספרי לימוד, ספרי עיון), זיהינו את הפתרון של דוגמאות לפי העקרונות הבאים:
· אתה יכול לפתור את הדוגמה ולקחת בחשבון את ה-ODZ (השיטה הנפוצה ביותר)
· אפשר לפתור את הדוגמה מבלי לקחת בחשבון את ה-ODZ
· ניתן להגיע להחלטה הנכונה רק על ידי התחשבות ב-ODZ.
נחקר ניתוח של תוצאות בחינת המדינה המאוחדת בשנים האחרונות. נעשו טעויות רבות בדוגמאות בהן יש צורך לקחת בחשבון DL. משמעות מעשיתהעבודה נעוצה בעובדה שניתן להשתמש בתוכנו, בהערכותיו ובמסקנותיו בהוראת מתמטיקה בבית הספר, לקראת ההסמכה הסופית של תלמידי בית ספר בכיתות ט' וי"א.
2. סקיצה היסטורית
כמו מושגים אחרים של מתמטיקה, מושג הפונקציה לא התפתח מיד, אלא עבר דרך ארוכה של התפתחות. בעבודתו של פ' פרמה "מבוא וחקר מקומות מישוריים ומוצקים" (1636, פורסם ב-1679) נאמר: "בכל פעם שיש שתי כמויות לא ידועות במשוואה הסופית, יש מקום." בעיקרו של דבר, כאן אנחנו מדברים על תלות תפקודית ועל הייצוג הגרפי שלה ("מקום" בפרמה פירושו קו). גם חקר הקווים על פי משוואותיהם ב"גיאומטריה" של ר' דקארט (1637) מעיד על הבנה ברורה של התלות ההדדית של שני משתנים. I. Barrow (הרצאות על גיאומטריה, 1670) מבסס בצורה גיאומטרית את האופי ההפוך ההדדי של פעולות ההבחנה והאינטגרציה (כמובן, מבלי להשתמש במונחים אלה עצמם). זה כבר מעיד על שליטה ברורה לחלוטין במושג הפונקציה. אנו מוצאים מושג זה גם בצורה גיאומטרית ומכאנית אצל I. Newton. עם זאת, המונח "פונקציה" מופיע לראשונה רק בשנת 1692 עם ג' לייבניץ, ויותר מכך, לא ממש בהבנתו המודרנית. ג' לייבניץ קורא למקטעים שונים הקשורים לעקומה (לדוגמה, האבססיס של הנקודות שלה) פונקציה. בקורס המודפס הראשון, "ניתוח אינסופיים לידע של קווים מעוקלים" מאת L'Hopital (1696), לא נעשה שימוש במונח "פונקציה".
ההגדרה הראשונה של פונקציה במובן הקרוב לזו המודרנית נמצאת ב-I. Bernoulli (1718): "פונקציה היא גודל המורכב ממשתנה וקבוע". הגדרה לא לגמרי ברורה זו מבוססת על הרעיון של ציון פונקציה על ידי נוסחה אנליטית. אותו רעיון מופיע בהגדרתו של ל' אוילר, שניתנה על ידו ב"מבוא לניתוח האינסוף" (1748): "הפונקציה של כמות משתנה היא ביטוי אנליטי המורכב בדרך כלשהי מהמשתנה הזה כמות ומספרים או כמויות קבועות." עם זאת, ל' אוילר אינו זר עוד להבנה המודרנית של פונקציה, שאינה מחברת את מושג הפונקציה עם אף אחד מהביטויים האנליטיים שלו. "חשבון דיפרנציאלי" שלו (1755) אומר: "כאשר כמויות מסוימות תלויות באחרים באופן שכאשר האחרונים משתנים הם עצמם נתונים לשינוי, אז הראשונות נקראות פונקציות של האחרונות."
מאז תחילת המאה ה-19, מושג הפונקציה הוגדר יותר ויותר מבלי להזכיר את הייצוג האנליטי שלו. ב"מסכת על חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי" (1797-1802) אומר ס. לקרויה: "כל כמות שערכה תלוי בכמות אחת או רבות אחרות נקראת פונקציה של אלה האחרונים." ב"תיאוריה האנליטית של חום" מאת ג'יי פורייה (1822) יש ביטוי: "פונקציה f(x)מציין פונקציה שרירותית לחלוטין, כלומר רצף של ערכים נתונים, בין אם כפוף לחוק כללי ובין אם לאו ומתאים לכל הערכים איקסמכיל בין 0 לערך כלשהו איקס" ההגדרה של נ.י. לובצ'בסקי קרובה לזו המודרנית: "...המושג הכללי של פונקציה מחייב שפונקציה מ- איקסשם את המספר שניתן עבור כל אחד מהם איקסויחד עם איקסמשתנה בהדרגה. הערך של הפונקציה יכול להינתן או על ידי ביטוי אנליטי, או על ידי תנאי המספק אמצעי לבדיקת כל המספרים ולבחור אחד מהם, או, לבסוף, התלות יכולה להתקיים ולהישאר לא ידועה. נאמר שם גם קצת יותר נמוך: "ההשקפה הרחבה של התיאוריה מאפשרת את קיומה של תלות רק במובן שמספרים זה עם זה בקשר מובנים כאילו ניתנים יחד." לפיכך, ההגדרה המודרנית של פונקציה, ללא התייחסות למשימה האנליטית, המיוחסת בדרך כלל ל-P. Dirichlet (1837), הוצעה לפניו שוב ושוב:
ל-y יש פונקציה של המשתנה x (בקטע https://pandia.ru/text/78/093/images/image002_83.gif" width="95" height="27 src=">. על ידי ריבוע שני הצדדים של המשוואה, בואו נפטר מחוסר ההיגיון. אבל בואו נשים לב לעובדה שריבוע, באופן כללי, אינו טרנספורמציה שווה ערך, וכאשר ריבוע נוכל לקבל שורשים נוספים. אם השורשים שלמים, אז זה קל לבדוק. אבל במקרים מסוימים זה לא נוח לבדוק אז השתמש בהפחתה של המשוואה הזו למערכת מקבילה:
.
במקרה זה, אין צורך למצוא את ה-ODZ: מהמשוואה הראשונה נובע שהערכים המתקבלים של x מספקים את אי השוויון הבא: https://pandia.ru/text/78/093/images/image005_34. gif" width="107" height="27 src="> היא המערכת:
מכיוון שהם נכנסים למשוואה באופן שווה, אז במקום אי-שוויון, אתה יכול לכלול אי-שוויון https://pandia.ru/text/78/093/images/image010_15.gif" width="220" height="49"> 
https://pandia.ru/text/78/093/images/image015_10.gif" width="239" height="51"> 
3. פתרון משוואות ואי-שוויון לוגריתמיות.
3.1. תכנית לפתרון משוואה לוגריתמית
אבל די לבדוק רק תנאי אחד של ה-ODZ.
3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">
4. משוואות טריגונומטריות של הצורהשווים למערכת (במקום אי שוויון, ניתן לכלול אי שוויון במערכת https://pandia.ru/text/78/093/images/image025_2.gif" width="377" height="23"> שווים למשוואה
4. תכונות וסכנות של טווח הערכים המותרים
בשיעורי מתמטיקה אנו נדרשים למצוא את ה-DL בכל דוגמה. יחד עם זאת, לפי המהות המתמטית של העניין, מציאת ה-ODZ אינה חובה כלל, לרוב אינה הכרחית, ולעתים בלתי אפשרית – וכל זאת ללא כל פגיעה בפתרון הדוגמה. מצד שני, קורה לעתים קרובות שלאחר פתרון דוגמה, תלמידי בית הספר שוכחים לקחת בחשבון את ה-DL, לרשום אותו כתשובה הסופית, ולקחת בחשבון רק כמה תנאים. נסיבות אלו ידועות היטב, אך ה"מלחמה" נמשכת מדי שנה, ולפי הנראה תימשך עוד זמן רב.
קחו למשל את אי השוויון הבא:
כאן מחפשים את ה-ODZ ופותרים את אי השוויון. עם זאת, כאשר פותרים את אי השוויון הזה, תלמידי בית הספר מאמינים לפעמים שאפשר בהחלט לעשות בלי חיפוש ODZ, או ליתר דיוק, אפשר בלי התנאי
למעשה, כדי לקבל את התשובה הנכונה יש צורך לקחת בחשבון הן את אי השוויון והן.
אבל, למשל, הפתרון למשוואה: https://pandia.ru/text/78/093/images/image033_3.gif" width="79 height=75" height="75">
מה שמקביל לעבודה עם ODZ. עם זאת, בדוגמה זו, עבודה כזו מיותרת - די לבדוק את התגשמותם של שניים מאי השוויון הללו בלבד, וכל שניים.
נזכיר כי ניתן לצמצם כל משוואה (אי שוויון) לצורה . ODZ הוא פשוט תחום ההגדרה של הפונקציה בצד שמאל. העובדה שיש לפקח על אזור זה נובעת מהגדרת השורש כמספר מתחום ההגדרה של פונקציה נתונה, ובכך מה-ODZ. הנה דוגמה מצחיקה בנושא זה..gif" width="20" height="21 src="> יש תחום הגדרה של קבוצה של מספרים חיוביים (זו, כמובן, הסכמה לשקול פונקציה עם , אבל סביר), ואז -1 הוא לא הוא השורש.
5. טווח ערכים מקובלים – יש פתרון
ולבסוף, בהרבה דוגמאות, מציאת ODZ מאפשרת לקבל תשובה ללא חישובים מסורבלים, או אפילו בעל פה.
1. OD3 הוא קבוצה ריקה, מה שאומר שלדוגמה המקורית אין פתרונות.
1)
2) 3) 
2. ב ODZ נמצא מספר אחד או יותר, והחלפה פשוטה קובעת במהירות את השורשים.
1)
, x=3
2)
כאן ב-ODZ יש רק מספר 1
, ואחרי החלפה ברור שזה לא שורש.
3) ישנם שני מספרים ב-ODZ: 2 ו 3 , ושניהם מתאימים.
4) > יש שני מספרים ב-ODZ 0 ו 1 , ומתאים רק 1 .
ניתן להשתמש ב-ODZ ביעילות בשילוב עם ניתוח של הביטוי עצמו.
5) 
< ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем x=2. ואז אנחנו מחליפים לתוך אי השוויון 2
.
6) 
מהאו"ז יוצא ששם יש לנו ..gif" width="143" height="24"> מהאו"ז יש לנו: . אבל אז ו. מאז, אין פתרונות.
מה-ODZ יש לנו:..gif" width="53" height="24 src=">.gif" width="156" height="24"> ODZ: . מאז
בצד השני,. שוויון אפשרי רק כאשר כל צד של המשוואה שווה 0 , כלומר מתי x=1. לאחר החלפת ערך זה איקסאנחנו משוכנעים שאין פתרונות.
ODZ:. שקול את המשוואה על המרווח [-1; 0).
הוא ממלא את אי השוויון הבא https://pandia.ru/text/78/093/images/image072_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src="> ואין פתרונות. עם הפונקציה ו https://pandia.ru/text/78/093/images/image077_0.gif" width="179" height="25">. ODZ: x>2. באיזה . זה אומר שהשוויון הראשוני הוא בלתי אפשרי ואין פתרונות.
כעת ניתן דוגמה שהוצעה על ידי המורה בשיעור אלגברה. לא הצלחנו לפתור את זה מיד, אבל כשמצאנו את ה-ODZ, הכל התברר.
מצא את שורש המספרים השלמים של המשוואה https://pandia.ru/text/78/093/images/image080_0.gif" width="124" height="77"> 
פתרון מספר שלם אפשרי רק אם x=3ו x=5. על ידי בדיקה אנו מגלים שהשורש x=3לא מתאים, אז התשובה היא: x=5.
6. מציאת טווח הערכים המקובלים היא עבודה נוספת. שוויון של מעברים.
אתה יכול לתת דוגמאות שבהן המצב ברור גם בלי למצוא DZ.
1. 
שוויון הוא בלתי אפשרי, מכיוון שכאשר מורידים ביטוי גדול יותר מביטוי קטן יותר, התוצאה חייבת להיות מספר שלילי.
2. 
.
הסכום של שתי פונקציות לא שליליות אינו יכול להיות שלילי.
אני גם אתן דוגמאות שבהן למצוא ODZ קשה, ולפעמים פשוט בלתי אפשרי.
ולבסוף, חיפושים אחר ODZ הם לעתים קרובות רק עבודה נוספת, שאתה יכול להסתדר בלעדיה, ובכך להוכיח את ההבנה שלך מה קורה. ישנן מספר עצום של דוגמאות שניתן לתת כאן, אז נבחר רק את האופייניות ביותר. שיטת הפתרון העיקרית במקרה זה היא טרנספורמציות שוות במעבר ממשוואה אחת (אי שוויון, מערכת) לאחרת.
1.
. אין צורך ב-ODZ, כי לאחר שמצאתי את הערכים הללו איקס, באיזה x2=1, אנחנו לא יכולים לקבל x=0.
2. . אין צורך ב-ODZ, מכיוון שאנו מגלים מתי הביטוי הרדיקלי שווה למספר חיובי.
3. . אין צורך ב-ODZ מאותן סיבות כמו בדוגמה הקודמת.
4. 
אין צורך ב-ODZ, מכיוון שהביטוי הרדיקלי שווה לריבוע של פונקציה כלשהי, ולכן אינו יכול להיות שלילי.
5. 
6. . אין צורך ב-ODZ, מכיוון שהביטוי תמיד חיובי.
7. 
כדי לפתור, מספיק אילוץ אחד לביטוי הרדיקלי. למעשה, מהמערכת המעורבת הכתובה עולה שהביטוי הרדיקלי האחר אינו שלילי.
8. אין צורך ב-DZ מאותן סיבות כמו בדוגמה הקודמת.
9. 
אין צורך ב-ODZ, מכיוון שמספיק ששניים משלושת הביטויים מתחת לסימני הלוגריתם יהיו חיוביים כדי להבטיח את החיוביות של השלישי.
10. 
אין צורך ב-.gif" width="357" height="51"> ODZ מאותן סיבות כמו בדוגמה הקודמת.
עם זאת, ראוי לציין כי בעת פתרון באמצעות שיטת טרנספורמציות שוות, הכרת ה-ODZ (ומאפייני הפונקציות) עוזרת.
הנה כמה דוגמאות.
1. . OD3, מה שמרמז שהביטוי בצד ימין חיובי, וניתן לכתוב משוואה שווה ערך לזה בצורה זו. יש לבדוק את התוצאה המתקבלת מול ה-ODZ.
2. 
ODZ: . אבל אז, וכשפותרים את אי השוויון הזה, אין צורך לשקול את המקרה כאשר הצד הימני קטן מ-0.
3. . מהאו"ד עולה כי , ולכן המקרה כאשר , אינו נכלל.
באופן כללי, נראה שהיעילות של שיטת הטרנספורמציות המקבילות ברורה. בעזרתם אנו מגיעים לתשובה מבלי לחפש DZ. האם זה אומר שיש איזו שיטה אוניברסלית וכל מה שנשאר זה ללמוד איך להשתמש בה? אבל זה לא כך. יש לכך מספר סיבות. יש די הרבה משפטים על טרנספורמציות שוות, לא קל לזכור אותם, ושליטה בטוחה בהם היא לא עניין קל. לעתים קרובות, באמצעות טרנספורמציות שוות, אתה מתחיל לשים את הסימן הזה על כל מעבר ממשוואה אחת לאחרת, גם שווה ערך וגם לא כך. משפטים אלה נשכחים במהירות.
קושי נוסף הוא שכאשר כותבים שקילות, אפשר לשכוח לרשום את כל התנאים שמבטיחים זאת, אך ייתכן שהדבר לא ישפיע בשום צורה על התשובה. הנה שתי דוגמאות כאלה:
1. המעבר באופן כללי נראה כך:
בדוגמה זו, הביטוי מתחת לסימן הלוגריתם בצד ימין הוא תמיד חיובי. לכן, ביחס לדוגמה זו, אותו חלק מתנאי השקילות שנכתב כסט אינו מוסיף דבר. אבל לאחר שקיבלת החלטה כזו, אתה יכול פשוט לשכוח מהטוטליות הזו.
ישנם שני מקרים אפשריים: 0<<1 и >1.
המשמעות היא שהאי-שוויון המקורי שווה ערך למערכת הבאה של אי-שוויון:
למערכת הראשונה אין פתרונות, אבל מהשנייה נקבל: x<-1 – решение неравенства.
הבנת תנאי השקילות דורשת ידע של כמה דקויות. לדוגמה, מדוע המשוואות הבאות שוות ערך:
אוֹ 
ולבסוף, אולי הכי חשוב. העובדה היא שקילות מבטיחה את נכונות התשובה אם מבוצעות כמה טרנספורמציות של המשוואה עצמה, אבל היא לא משמשת עבור טרנספורמציות רק באחד מהחלקים. קיצורים ושימוש בנוסחאות שונות באחד החלקים אינם מכוסים במשפטי השקילות. כמה דוגמאות מסוג זה ניתנו בעבודה. בואו נסתכל על עוד כמה דוגמאות.
1. החלטה זו היא טבעית. בצד שמאל, לפי המאפיין של הפונקציה הלוגריתמית, נעבור לביטוי. כתוצאה מכך, אנו מקבלים את המשוואה. זה שווה ערך למערכת כזו
לאחר שפתרנו מערכת זו, אנו מקבלים את התוצאה (-2 ו-2), אשר, עם זאת, אינה תשובה, מכיוון שהמספר -2 אינו כלול ב-ODZ. אז האם אנחנו צריכים להתקין ODS? ברור שלא. אבל מכיוון שהשתמשנו בתכונה מסוימת של הפונקציה הלוגריתמית בפתרון, אז אנחנו מחויבים לספק את התנאים שבהם היא מתקיימת. תנאי כזה הוא החיוביות של ביטויים תחת סימן לוגריתם..gif" width="65" height="48">.
2. 
..gif" width="143" height="27">.gif" width="147" height="24">הוסף תנאי, ומיד תוכל לראות שרק המספר https://pandia.ru/ עומד בתנאי זה text/78/093/images/image129.gif" width="117" height="27">) הוכחו על ידי 52% מהניגשים למבחן. אחת הסיבות לשיעורים נמוכים כל כך היא העובדה בוגרים רבים לא בחרו את השורשים שהתקבלו מהמשוואה לאחר ריבוע.
3) שקול, למשל, את הפתרון לאחת הבעיות C1: "מצא את כל הערכים של x שעבורם נקודות הגרף של הפונקציה 
שוכב מעל הנקודות המתאימות בגרף של הפונקציה. המשימה מסתכמת בפתרון אי שוויון חלקי המכיל ביטוי לוגריתמי. אנחנו מכירים את השיטות לפתרון אי שוויון כאלה. הנפוצה שבהם היא שיטת המרווחים. עם זאת, בעת השימוש בו, הנבחנים עושים טעויות שונות. בואו נסתכל על הטעויות הנפוצות ביותר תוך שימוש באי-שוויון כדוגמה:
1. בוגרים מוצאים את ה-DL בצורה נכונה על ידי פתרון מערכת אי השוויון:
איפה איקס 
. לאחר מכן, כפול שני הצדדים של אי השוויון במכנה משותף, נקבל את אי השוויון: log(23 - 10 איקס
2..gif" width="124" height="29">. בשלב הבא הם מקבלים איקס– 10 +
; . על ידי פתרון משוואה זו ולקחת בחשבון את התנאי, הבוגרים מסיקים שלמשוואה אין פתרונות.
3. הנבחנים הופכים נכון את המשוואה לטופס
ושקול שני מקרים: איקס 10 ו איקס < 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие איקס < 10.
8. מסקנה
בעבודה זו, ניסינו לחקור את תופעת קיומם של מגוון ערכים מקובלים בעת פתרון משוואות ואי-שוויון מסוגים שונים, ניתחנו מצב זה, והסקנו מסקנות נכונות מבחינה לוגית בדוגמאות שבהן יש צורך לקחת בחשבון את טווח של ערכים מקובלים. עבורי, הנושא "אזור ערכים מותרים" נראה מאוד מורכב ובלתי מובן, ובספרי הלימוד של בתי הספר נושא זה אינו מקבל מקום, הוא כמעט אינו מכוסה, אם כי משימות הבחינה הממלכתית המאוחדת מכילות משימות על פתרון משוואות ואי-שוויון שבהן. יש צורך למצוא את טווח הערכים המותרים. בתהליך העבודה עמדנו בפני העובדה שהספרות בנושא זה אינה מספיקה למחקר שלם ושיטתי. אנו חושבים שהנושא הזה דורש תשומת לב רבה של מתמטיקאים ומתודולוגים.
לאחר שפתרנו דוגמאות רבות ממקורות שונים, נוכל להסיק כמה מסקנות: אין שיטה אוניברסלית לפתרון משוואות ואי-שוויון. בכל פעם, אם אתה רוצה להבין מה אתה עושה ולא לפעול בצורה מכנית, אתה חושב: באיזו שיטת פתרון עליך לבחור, בפרט, האם עליך לחפש את מגוון הערכים המקובלים או לא? אנו מאמינים שהניסיון שנצבר יעזור לפתור דילמה זו. התלמידים יפסיקו לעשות טעויות על ידי כך שילמדו להשתמש נכון בטווח הערכים המקובלים. אם נוכל לעשות זאת, הזמן יגיד, או יותר נכון הבחינה המאוחדת 2010 הקרובה.
אנו מקווים שהעבודה המוצגת תהיה מעניינת ושימושית למורים ולתלמידים, וכי לקויות חינוכיות יפסיקו להיות "סוג של ODZ רע"עבור תלמידי בית ספר.
9. ספרות
1. וכו' "אלגברה והתחלות הניתוח 10-11" ספר בעיות וספר לימוד, מ': "Prosveshchenie", 2002.
2. "מדריך למתמטיקה יסודית". מ.: "מדע", 1966.
3. עיתון "מתמטיקה" מס' 46,
4. עיתון "מתמטיקה" מס.
5. עיתון "מתמטיקה" מס.
6. "היסטוריה של המתמטיקה בבית הספר, כיתות ז'-ח'". מ.: "נאורות", 1982.
7. וכו' "המהדורה השלמה ביותר של אפשרויות למשימות אמיתיות של בחינת המדינה המאוחדת: 2009/FIPI" - מ': "אסטרל", 2009.
8. ואחרים "בחינת המדינה המאוחדת. מָתֵימָטִיקָה. חומרים אוניברסליים להכנת תלמידים/FIPI" - מ': "מרכז אינטלקט", 2009.
9. ואחרים. "אלגברה והתחלות הניתוח 10-11." מ.: "נאורות", 2007.
10. , "סדנה לפתרון בעיות במתמטיקה בית ספרית (סדנה באלגברה)." מ': חינוך, 1976.
11. "25,000 שיעורי מתמטיקה." מ.: "נאורות", 1993.
12. "אנחנו מתכוננים לאולימפיאדות במתמטיקה." מ.: "בחינה", 2006.
13. "אנציקלופדיה לילדים "מתמטיקה"" כרך 11, מ': אוונטה +; 2002.
14. חומרים מהאתרים http://www. *****, http://www. *****.
פורטל האינטרנט ויקיפדיה http://ru. ויקיפדיה. org/wiki/Numeric_function (נגישה 03/05/2010).
, "סדנה לפתרון בעיות במתמטיקה בבית הספר (סדנה באלגברה)." מ': חינוך, 1976, עמ' 64.
שאלה מתלמיד אל Answers@***** http://otvet. *****/שאלה/8166619/ (תאריך צפייה ב-22/03/2010)
מכתב מתודולוגי "על השימוש בתוצאות בחינת המדינה המאוחדת 2008 בהוראת מתמטיקה במוסדות חינוך של השכלה כללית תיכונית (שלמה)" http://www. ***** (תאריך צפייה 17/12/2009)
מזל טוב, קוראים יקרים!
סוף סוף הגענו פתרון משוואות טריגונומטריות.כעת נפתור מספר משוואות הדומות למשימות בחינת המדינה המאוחדת. כמובן שבבחינה האמיתית המשימות יהיו קצת יותר קשות, אבל המהות תישאר זהה.
ראשית, בואו נסתכל על משוואה קלה (כבר פתרנו כאלה דומות בשיעורים קודמים, אבל לחזור עליהן תמיד שימושי).
$$(2\cos x + 1) (2\sin x - \sqrt(3)) = 0.$$
אני חושב שהסברים איך להחליט הם מיותרים.
$$2\cos x + 1 = 0 \text( או ) 2\sin x - \sqrt(3) =0,$$
$$\cos x = -\frac(1)(2) \text( או ) \sin x = \frac(\sqrt(3))(2),$$
הקו המקווקו האופקי מסמן פתרון למשוואה עם סינוס, אנכי - עם קוסינוס.
לפיכך, ניתן לכתוב את הפתרון הסופי, למשל, כך:
$$\left[ \begin(array)(l)x= \pm \frac(2\pi)(3),\\x = \frac(\pi)(3)+2\pi k. \end(מערך)\right.$$
משוואה טריגונומטרית עם ODZ
$$(1+\cos x)\left(\frac(1)(\sin x) - 1\right) = 0.$$
הבדל חשוב בדוגמה זו הוא שסינוס מופיע במכנה. למרות שפתרנו מעט משוואות דומות בשיעורים קודמים, כדאי להתעכב על ה-ODZ ביתר פירוט.
ODZ
`\sin x \neq 0 \rightarrow x \neq \pi k`. כאשר נסמן את הפתרון על המעגל, נסמן את סדרת השורשים הזו בנקודות מנוקבות (פתוחות) במיוחד כדי להראות ש-'x' לא יכול לקחת ערכים כאלה.
פִּתָרוֹן
הבה נצמצם למכנה משותף, ולאחר מכן נשווה לסירוגין את שתי הסוגריים לאפס.
$$(1+\cos x)\left(\frac(1-\sin x)(\sin x)\right) = 0,$$
$$1+\cos x = 0 \text( או ) \frac(1-\sin x)(\sin x) = 0,$$
$$\cos x = -1 \text( או ) \sin x=1.$$
אני מקווה שפתרון המשוואות הללו לא יגרום לקשיים.
סדרת השורשים - פתרונות למשוואה - מוצגות להלן עם נקודות אדומות. ODZ מסומן בכחול באיור.
לפיכך, אנו מבינים שהפתרון למשוואה `\cos x = -1` אינו עומד ב-ODZ.
התשובה תהיה רק סדרה של שורשים `x = \frac(\pi)(2) + 2\pi k`.
פתרון משוואה טריגונומטרית ריבועית
הנקודה הבאה בתוכנית שלנו היא פתרון משוואה ריבועית. אין בזה שום דבר מסובך. העיקר לראות את המשוואה הריבועית ולבצע את ההחלפה כפי שמוצג להלן.
$$3\sin^2 x + \sin x =2,$$
$$3\sin^2 x + \sin x -2=0.$$
תן `t= \sin x`, ואז נקבל:
$$3t^2 + t-2=0.$$
$$t_1 = \frac(2)(3), t_2 = -1.$$
בוא נעשה את ההחלפה ההפוכה.
$$\sin x = \frac(2)(3) \text( או ) \sin x = -1.$$
$$\left[\begin(array)(l)x = \arcsin \frac(2)(3) + 2\pi k, \\ x = \pi - \arcsin \frac(2)(3) + 2 \pi k, \\ x = -\frac(\pi)(2) + 2\pi k. \end(מערך) \right.$$
פתרון משוואה ריבועית עם טנגנס
בואו נפתור את המשוואה הבאה:
$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg)))(\tg)^2 2x - 6\tg 2x +5 =0, $$
שימו לב שהארגומנט המשיק הוא `2x` וכדי לקבל את התשובה הסופית תצטרך לחלק ב-`2`. אז תן `t=\tg 2x`
$$t^2 - 6t +5 =0, $$
$$t_1 = 5, t_2 = 1.$$
החלפה הפוכה.
$$\tg x = 5,\tg x = 1.$$
$$\left[\begin(array)(l)2x = \arctan(5)+\pi k, \\ 2x = \frac(\pi)(4) + \pi k. \end(מערך) \right.$$
כעת נחלק את שתי הסדרות בשניים כדי לגלות מה בעצם שווה 'x'.
$$\left[\begin(array)(l)x = \frac(1)(2)\arctan(5)+\frac(\pi k)(2), \\ 2x = \frac(\pi) (8) + \frac(\pi k)(2). \end(מערך) \right.$$
אז קיבלנו את התשובה.
משוואה אחרונה (מכפלה של טנגנס וסינוס)
$$\tg x \cdot \sin 2x = 0.$$
ODZ
מכיוון שהטנגנס הוא שבר שהמכנה שלו הוא הקוסינוס, אז ב-ODZ נקבל את זה `\cos x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac(\pi)(2)+\pi k.`
פִּתָרוֹן
$$\tg x =0 \text( או ) \sin 2x = 0.$$
קל לפתור את המשוואות הללו. אנחנו מקבלים:
$$x = \pi k \text( או ) 2x = \pi k,$$
$$x = \pi k \text( או ) x = \frac(\pi k)(2).$$
עכשיו הדבר המעניין ביותר: מכיוון שהיה לנו ODZ, אנחנו צריכים לבצע מבחר שורשים. הבה נסמן את סדרת השורשים המתקבלת על עיגול. (איך לעשות זאת מוצג בפירוט בסרטון המצורף.)
ODZ מסומן בכחול, הפתרונות באדום. ניתן לראות שהתשובה תהיה `x = \pi k`.
בכך מסתיים השיעור החמישי. הקפידו לתרגל פתרון משוואות. זה דבר אחד לדעת את ההתקדמות של פתרון במונחים כלליים, זה דבר אחר להתמצא בפתרון בעיה ספציפית. תרגל בהדרגה כל מרכיב בפתרון הבעיה. עכשיו העיקר הוא ללמוד איך לעבוד בצורה מוכשרת עם המעגל הטריגונומטרי, למצוא פתרונות בעזרתו, לראות את ה-ODZ ולבצע נכון החלפות למשוואות ריבועיות.
משימות להדרכה
פתרו את המשוואות:
- `2 \cos^2 \frac(x)(2) + \sqrt(3) \cos \frac(x)(2) = 0`,
- `3 (\tg)^2 2x + 2\tg 2x -1= 0`,
- `2\cos^2 3x - 5\cos 3x -3 =0`,
- `\sin^2 4x + \sin x - \cos^2x =0` (החל את הזהות הטריגונומטרית הבסיסית),
- `4\sin^2 \left(x-\frac(\pi)(3) \right) - 3 =0`.
זה מספיק. אם יש לך שאלות, פשוט תשאל! השאירו לייק אם העבודה שלי הייתה מועילה :)
איך לחפש את אותו ODZ? אנו בוחנים היטב את הדוגמה ומחפשים מקומות מסוכנים. מקומות שבהם אפשריות פעולות אסורות. יש מעט מאוד פעולות אסורות כאלה במתמטיקה.
שיעורים נוספים באתר
ARV (אזור ערך מקובל)
טווח הערכים המקובלים של משוואה הוא קבוצת הערכים של x שעבורם הצד הימני והשמאלי של המשוואה הגיוניים.
אלו הם הערכים של x שיכולים להיות באופן עקרוני. נניח במשוואה = 1 אנחנו עדיין לא יודעים למה x שווה. עדיין לא פתרנו את המשוואה. אבל אנחנו כבר יודעים בוודאות ש-x לא יכול להיות שווה לאפס בשום פנים ואופן! אי אפשר לחלק באפס!כל מספר אחר - מספר שלם, שבר, שלילי - בבקשה, אבל אפס - לעולם לא! אחרת הביטוי המקורי הופך לשטויות. זה אומר שה-ODZ בדוגמה זו הוא: x - כל דבר מלבד אפס. הבנת?
איך מוצאים, איך מקליטים, איך עובדים עם זה?
פשוט מאוד. כתוב ODZ ליד הדוגמה. תחת האותיות הידועות הללו, בהסתכלות על המשוואה המקורית, אנו רושמים את הערכים של x, המותרים עבור הדוגמה המקורית. או להפך: מצא ערכים אסורים של x,שבהם הדוגמה המקורית מאבדת כל משמעות, ומוציאה אותם.
אבל גם לא כולם זוכרים אותם. אני אזכיר לך אותם עכשיו, ואני ממליץ לך לזכור אותם.
הביטוי מתחת לסימן השורש של ריבוי זוגי חייב להיות גדול או שווה לאפס.
הביטוי במכנה של שבר אינו יכול להיות שווה לאפס.
- ישנן שתי פונקציות המכילות שבר "נסתר":
יש איסורים גם במשוואות לוגריתמיות - נסתכל על אלו בנושאים הרלוונטיים. את כל. כשמצאנו מקומות מסוכנים, מחשבים את x, מה שיוביל לשטויות.
כדי למצוא את טווח ערכי הביטוי המקובלים, עליך לבחון האם קיימיםמשוואת ביטוישרשמתי למעלה. וכאשר אתה מגלה ביטויים, רשום את ההגבלות שהם קבעו, זז "בחוץ" "בפנים". ואנחנו לא כוללים אותם.
חָשׁוּב! כדי למצוא ODZ אנחנו לא פותרים דוגמה! אנו פותרים חלקים מהדוגמה כדי למצוא X אסור. זה נראה קשה בהסבר, אבל בפועל זה קל מאוד.
ספציפית לא אמרתי שום דבר על DD בשיעורים קודמים. כדי לא להפחיד אותך... בדוגמאות שנחשבו, DL לא השפיע בשום צורה על התשובות. הרי באיסורים המפורטים שלנו אין פונקציה הדגמה. זה קורה. אבל במשימות לבדיקה עצמאית חיצונית, DL, ככלל, משפיע על התשובה! זה צריך להיות כתוב לא עבור פקחים, אלא עבור עצמך. אל תכתוב אם ברור ש-x הוא מספר כלשהו. כמו, למשל, במשוואות לינאריות.
בהרבה דוגמאות, מציאת ODZ מאפשרת לך לקבל תשובה ללא חישובים מסורבלים. או אפילו בעל פה. במשוואות מסוימות, הוא מייצג קבוצה ריקה. זה אומר שלמשוואה המקורית אין פתרונות. או שיש שם מספר אחד או יותר, והחלפה פשוטה קובעת במהירות את השורשים.
מה לא לאהוב? נכון - שבריר. גם אני לא אוהב את זה, אז אני מציע להיפטר ממנו. זה יכול להיעשות בדרכים שונות. כדי להיפטר מהמכנה, אכפיל את שני הצדדים של המשוואה במכנה המשותף x-4.
טוען...
